Diophante d'Alexandrie

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Page couverture de l'édition de 1670 des Arithmetica, principal ouvrage de Diophante d'Alexandrie

Diophante d'Alexandrie (en grec ancien : Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς Dióphantos ho Alexandreús) était un mathématicien de langue grecque qui a vécu à Alexandrie entre le Ie siècle av. J.-C. et le IVe siècle, peut-être au IIe siècle ou au IIIe siècle. Connu pour Arithmétique, ouvrage dont une partie est aujourd'hui perdue, et où il étudie certaines équations diophantiennes. Il est surnommé parfois le « père de l'algèbre ».

Biographie[modifier | modifier le code]

Page 85 de l'édition de 1621 des Arithmétiques de Diophante

On ne connaît rien ou à peu près de la vie de Diophante, même l'époque à laquelle il a vécu reste très incertaine[1]. Il vécut à Alexandrie. Son œuvre est en partie perdue.

Comme d'une part il cite dans son traité sur les nombres polygonaux le mathématicien Hypsiclès, qui vivait au IIe siècle av. J.-C., et que d'autre part il est cité par Théon d'Alexandrie, qui est mort au tout début du Ve siècle, on sait qu'il a vécu entre ces deux époques, et ce sont là les seules certitudes dont on dispose à ce sujet. En s'appuyant sur une source tardive, et au prix de plusieurs hypothèses qui ont été contestées, Paul Tannery le fait vivre au IIIe siècle[1],[2].

Il est connu pour son étude des équations à variables sur les nombres rationnels positifs (les quotients de deux entiers naturels), étude qui a donné son nom aux équations diophantiennes. L'adjectif diophantien est souvent utilisé en théorie des nombres pour décrire un problème en rapport avec ces équations.

Son ouvrage le plus important est son Arithmétique, qui influença les mathématiciens arabes et bien plus tard ceux de la Renaissance.

Diophante a aussi écrit un traité sur les nombres polygonaux, dont des fragments nous sont parvenus.

Diophante s'intéresse notamment aux problèmes suivants :

  • Résolution d'équations quadratiques (du type ax2 = bx + c) ;
  • détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés (ex. : trouver x tel que 10x + 9 et 5x + 4 soient tous deux des carrés) ;
  • décomposition d'un nombre en somme de 2 carrés. Il semble que Diophante sache d'expérience que les entiers de la forme 4n+3 ne s'écrivent pas comme la somme de 2 carrés ;
  • partage d'un carré en 2 carrés : il explique notamment comment partager 16 en somme de 2 carrés : (16/5)2 + (12/5)2. C'est en marge de ce problème que Fermat inscrit sur son exemplaire des Arithmetica sa fameuse note, selon laquelle il est impossible de partager un cube en 2 cubes, une puissance quatrième en 2 puissances quatrièmes, et plus généralement une puissance quelconque au-delà du carré, en 2 puissances du même exposant. Il faudra attendre 1995 pour avoir une démonstration de ce résultat par Andrew Wiles.

Son épitaphe[modifier | modifier le code]

Mais il est également connu pour son épitaphe : problème, attribué à Métrodore (en) (vers 500), permettant de trouver l'âge de Diophante d'Alexandrie à sa mort. Ce problème partage la vie de Diophante en parties inégales représentées par des fractions et permet de calculer la durée de sa vie, soit 84 ans. Voici le problème en abrégé :

« L'enfance de Diophante occupa un sixième de toute sa vie. Le douzième fut pris par son adolescence. Après une nouvelle période équivalente au septième de sa vie, il se maria. Cinq ans plus tard, il eut un fils. La vie de ce fils fut exactement une demie de celle de son père. Diophante mourut quatre ans après la mort de son fils[3]. »

Une version de ce problème, extraite de l'Anthologie grecque, a été publiée par Orly Terquem[4], accompagnée d'une traduction en latin par Bachet et d'une imitation en alexandrins par un collaborateur qui signe H. Eutrope[5],[6] :

Passant, sous ce tombeau repose Diophante,
Et quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort :
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance ;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis, s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils qui, du destin sévère
Reçut de jours, hélas ! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut :
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.
       Solution.
Représente par x le nombre en question
Et, sans rien oublier, pose une équation
Où dans le premier membre on trouve le sixième,
Puis le douzième d'x, augmentés du septième.
Ajoutes-y neuf ans : le tout égalera
L'inconnue x. Transpose, ajoute…, et cætera.
Tu verras aisément, sans qu'on puisse en rabattre,
Que l'âge du bonhomme est bien quatre-vingt-quatre.

Plus explicitement[7] : la solution de x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x est x = 84.

Postérité[modifier | modifier le code]

Diophante est « redécouvert » en Europe occidentale par Regiomontanus en 1463 grâce à un manuscrit ramené à Rome après la prise de Constantinople en 1453. Regiomontanus affirmait avoir vu 13 livres mais, jusqu'en 1971, seuls six livres subsistaient.

Les premières traductions de Diophante datent de la fin du XVIe siècle : Rafaele Bombelli le traduit en italien en 1572 dans son Algebra, Xylander en latin en 1575, puis Simon Stevin en français en 1585 (seulement les quatre premiers livres). Albert Girard en 1625 et 1634 publiera dans les œuvres mathématiques de Simon Stevin la traduction des cinquième et sixième livres suivant le même modèle que Simon Stevin.

Il est ensuite traduit en latin, et annoté en latin et en grec, par Claude-Gaspard Bachet en 1621, puis à nouveau annoté par Pierre de Fermat à Toulouse en 1670 (après sa mort). L'ayant étudié au cours de sa jeunesse, Descartes affirmera de lui dans ses Règles pour la direction de l'esprit, en 1628, qu'il fait voir dans ses œuvres, de même que Pappus d'Alexandrie, les « traces de cette vraie mathématique », fruits des « semences de vérité, déposées par la nature dans l'esprit humain », qui « avaient tant de force dans cette rude et simple antiquité »[8].

En 1935, l'Union astronomique internationale donne le nom de Diophantus à un cratère lunaire.

En 1971, quatre autres livres traduits en arabe sont découverts à Meshhed par Roshdi Rashed[9].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  • Cet article comprend des extraits du Dictionnaire Bouillet. Il est possible de supprimer cette indication, si le texte reflète le savoir actuel sur ce thème, si les sources sont citées, s'il satisfait aux exigences linguistiques actuelles et s'il ne contient pas de propos qui vont à l'encontre des règles de neutralité de Wikipédia.
  1. a et b Roshdi Rashed et Christian Houzel, Les "Arithmétiques" de Diophante : Lecture historique et mathématique, Paris, Walter de Gruyter, coll. « Scientia Graeco-Arabica » (no 11),‎ , 639 p. (ISBN 978-3-11-033648-1, lire en ligne), p. 3
  2. (en) Wilbur Knorr (en), « Arithmêtikê stoicheiôsis: On diophantus and hero of Alexandria », Historia Mathematica, vol. 20, no 2,‎ , p. 180-192 (lire en ligne).
  3. Épitaphe de Diophante sur recreomath.qc.ca.
  4. Bulletin d'histoire, de biographie et de bibliographie mathématiques, vol. 6, 1860, p. 71-72, aperçu sur Google Livres.
  5. Revue de l'instruction publique de la littérature et des sciences en France et dans les pays étrangers, 1860, p. 461, aperçu sur Google Livres.
  6. Reprise sans la solution dans Émile Fourrey, Récréations arithmétiques,‎ (lire en ligne), p. 153.
  7. « Diophante », sur maths-et-tiques.fr.
  8. Règles pour la direction de l'esprit, IV, pp. 17 et 18 de l'édition des œuvres de Descartes dans la Pléiade.
  9. Roshdi Rashed, « DIOPHANTE D'ALEXANDRIE : 1. Une œuvre dispersée », sur Encyclopædia Universalis.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]