Nombre polygonal

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En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en disposant d'une certaine manière des cailloux ou des pois.

Exemples : nombres triangulaires et nombres carrés[modifier | modifier le code]

Par exemple, le nombre 10 peut être représenté par un triangle équilatéral ayant quatre pois sur chaque côté :

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Notations : P3,4 = T4 = 10.

Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré.

Au contraire : par exemple, le nombre 9 peut être représenté par un carré ayant trois pois sur chaque côté :

***
***
***

Notations : P4,3 = 32 = 9.

Mais 9 ne peut pas être représenté par un triangle.

En outre : par exemple, le nombre 36 peut être représenté à la fois par un carré ayant six pois sur chaque côté et par un triangle ayant huit pois sur chaque côté :

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Notations : P4,6 = 62 = 36 = T8 = P3,8.

Relation de récurrence, gnomon, somme de gnomons[modifier | modifier le code]

La méthode pour passer d'un polygone au suivant consiste à prolonger d'un seul point chacun des deux côtés adjacents à un seul sommet, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes ci-dessous, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour tout entier k ≥ 3, par convention, posons Pk,0 = 0 ; pour tout entier n ≥ 1, le nombre de points rouges du n-ième k-gone est :

C'est le gnomon associé à Pk,n–1, et faisant passer à Pk,n.
Pour tout entier k ≥ 3, (Pk,nPk,n–1)n≥1 est donc la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2 et pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre k-gonal est la somme des n premiers termes de cette suite :

[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Nombres triangulaires :
P3,1 = T1 = 1       P3,2 = T2 = 3         P3,3 = T3 = 6         P3,4 = T4 = 10
* *
**
*
**
***
*
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****
Nombres carrés :
P4,1 = 12 = 1       P4,2 = 22 = 4         P4,3 = 32 = 9         P4,4 = 42 = 16
* **
**
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***
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Nombres hexagonaux :
P6,1 = 1       P6,2 = 6         P6,3 = 15         P6,4 = 28
* **
* *
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** *
* * *
** *
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* * * *
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Relations avec les nombres triangulaires[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n ≥ 0, le n-ième nombre triangulaire est

.

De l'expression de Pk,n (voir supra), on déduit que pour tout entier n ≥ 1 :

  • pour tout entier k ≥ 3,  ;
  • pour tout entier k impair ≥ 5, .[pertinence contestée]

Nombre à la fois k-gonal et k-gonal centré[modifier | modifier le code]

Pour tout entier k ≥ 3, les premier et (k + 1)-ième nombres k-gonaux sont aussi k-gonaux centrés :

Nombre polygonal premier[modifier | modifier le code]

Pour tout entier k ≥ 3 :

  • le 2-ième nombre k-gonal, Pk,2 = k, peut évidemment être premier ;
  • mais vu son expression (voir supra), un nombre k-gonal de rang n ≥ 3 ne peut pas être premier (contrairement à un nombre k-gonal centré).

Listes de nombres polygonaux[modifier | modifier le code]

Nombres polygonaux
k Nom, notation Pk,n Expression n Numéro de suite OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 nombre triangulaire, P3,n 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 OEISA000217
4 nombre carré, P4,n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 OEISA000290
5 nombre pentagonal, P5,n 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 OEISA000326
6 nombre hexagonal, P6,n 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 OEISA000384
7 nombre heptagonal, P7,n 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 OEISA000566
8 nombre octogonal, P8,n 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 OEISA000567
9 nombre ennéagonal, P9,n 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 OEISA001106
10 nombre décagonal, P10,n 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 OEISA001107
11 nombre undécagonal, P11,n 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 OEISA051682
12 nombre dodécagonal, P12,n 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 OEISA051624
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10 000 nombre myriagonal, P10 000,n 1 10 000 29 997 59 992 99 985 149 976 209 965 279 952 359 937 449 920 OEISA167149

L'encyclopédie électronique des suites entières (OEIS) évite les termes avec préfixes grecs (comme « octogonal ») et utilise de préférence des termes avec préfixes numériques (comme « 8-gonal »).

Intérêt[modifier | modifier le code]

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[2], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés :

Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polygonal number » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie[modifier | modifier le code]