Nombre polygonal

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En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en arrangeant d'une certaine manière des cailloux ou des graines. Par exemple, le nombre 10, peut être représenté par un triangle

Article détaillé : Nombre triangulaire.
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Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré, alors que le nombre 9, peut se représenter en disposant des croix pour former un carré.

Article détaillé : Nombre carré.
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Certains nombres, comme 36, peuvent être à la fois représentés par un carré et un triangle.

Article détaillé : Nombre carré triangulaire.
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La méthode pour agrandir un polygone consiste à prolonger deux côtés adjacents d'un seul point, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes suivants, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour le n-ième nombre k-gonal, le nombre de points rouges est 1 + (k – 2)(n – 1).

Nombres triangulaires
1 3 6 10
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Nombres carrés
1 4 9 16
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Nombres hexagonaux
1 6 15 28
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Pour tout entier k ≥ 3, le premier nombre k-gonal est Pk,1 = 1, le deuxième est Pk,2 = k, le n-ième est la somme des n premiers ternes de la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison k – 2 :

.

Si k est impair, .

k Nom Pk,n n Lien OEIS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 triangulaire n(n + 1)/2 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 OEISA000217
4 carré n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 OEISA000290
5 pentagonal n(3n – 1)/2 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 OEISA000326
6 hexagonal n(2n – 1) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 OEISA000384
7 heptagonal n(5n – 3)/2 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 OEISA000566
8 octogonal n(3n – 2) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 OEISA000567
9 ennéagonal n(7n – 5)/2 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 OEISA001106
10 décagonal n(4n – 3) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 OEISA001107
11 undécagonal n(9n – 7)/2 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 OEISA051682
12 dodécagonal n(5n – 4) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 OEISA051624
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10 000 myriagonal n(4999n – 4998) 1 10 000 29 997 59 992 99 985 149 976 209 965 279 952 359 937 449 920 OEISA167149

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Intérêt[modifier | modifier le code]

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Théorème de Fermat-Cauchy[modifier | modifier le code]

Théorème des nombres polygonaux de Fermat : Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ainsi, tout entier positif est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires, 4 carrés… ou 10 nombres décagonaux.

Par exemple :

17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires)
17 = 16 + 1 (nombres carrés)
17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[1], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés : Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Ainsi, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polygonal number » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Polygonal Number », MathWorld