Identité de Brahmagupta

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En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au IIIe siècle, en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé méthode chakravala, dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités[modifier | modifier le code]

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

,

A désigne un anneau commutatif.

L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

Elle se déduit de celle de Diophante en multipliant et par (c.-à-d. par , dans l'anneau quotient générique ). Inversement, l'identité de Diophante est le cas particulier de celle de Brahmagupta.

On obtient des formes équivalentes de ces deux identités en remplaçant par son opposé :

Remarques[modifier | modifier le code]