Identité de Brahmagupta

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, l'identité de Brahmagupta est une formule utilisée pour la résolution d'équations diophantiennes. Elle est ancienne ; Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec vivant probablement au IIIe siècle, en établit un cas particulier pour l'étude d'un ancêtre du théorème des deux carrés de Fermat. Brahmagupta (598-668) l'établit dans toute sa généralité pour résoudre une question associée à l'équation de Pell-Fermat. L'école indienne élabora par la suite un algorithme appelé méthode chakravala, dont un ingrédient de base est l'identité de Brahmagupta.

Identités[modifier | modifier le code]

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

A désigne un anneau commutatif. L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

Pour s'en convaincre, il suffit de développer puis factoriser le terme de droite :

L'identité de Diophante s'obtient en choisissant pour n la valeur –1 et une forme équivalente, en remplaçant b par son opposé, est

La même transformation, pour la forme générale, donne

Remarques[modifier | modifier le code]