Déterminant de Gram

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En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram (1850-1916).

L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par n vecteurs en dimension n, sans nécessité de munir l'espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.

Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E, un espace préhilbertien réel. Si x1, ..., xn sont n vecteurs de E, la matrice de Gram associée est la matrice symétrique de terme général (xi|xj) (le produit scalaire des vecteurs xi et xj). Le déterminant de Gram est le déterminant de cette matrice, soit

Matrice de Gram[modifier | modifier le code]

Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace des n-uplets de réels) que les vecteurs xi dans E : si on note (C1, ..., Cn) la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, on a pour toute famille de réels (a1, ..., an)

si et seulement si .

Il s'ensuit que la famille de vecteurs (x1, ..., xn) et sa matrice de Gram ont le même rang.

Déterminant de Gram[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Écriture à l'aide d'une matrice représentative

Soit , une base orthonormale de l'espace engendré par la famille (xi), et X, la matrice représentative de (xi) dans . Autrement dit, X est la matrice de taille d×n dont la i-ème colonne contient les coordonnées du vecteur xi dans , d= rg (x1,…,xn) ≤ n étant la dimension de .

La matrice de Gram de (xi) est alors tXX. Elle est donc autoadjointe positive, et elle est définie positive si et seulement si les xi sont linéairement indépendants.

Effet d'opérations élémentaires
  • la multiplication d'un des vecteurs par le réel a provoque une multiplication du déterminant de Gram par a2
  • le déterminant de Gram est invariant par permutation des xi)
  • l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres vecteurs laisse invariant le déterminant de Gram
Propriétés
  • si pour tout , alors on a
  • le déterminant de Gram d'une famille de n vecteurs est toujours positif
  • il est nul si et seulement si la famille est liée (ce qui est un cas particulier de l'énoncé sur le rang de la famille de Gram).

Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel[modifier | modifier le code]

Soit F, un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E muni d'une base , et . x admet un projeté orthogonal sur F et on a

Application au calcul des composantes d'un vecteur dans une base quelconque[modifier | modifier le code]

Soit F, un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E muni d'une base , et .

On pose . Alors pour tout on a la relation

Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque pour déterminer les coordonnées de dans .

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Calcul des volumes de parallélotopes[modifier | modifier le code]

Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de vecteurs est égal au carré du volume euclidien du parallélotope correspondant.

Pour c'est bien le cas, car .

En supposant la propriété vraie pour toute famille de vecteurs, on l'établit pour  : la distance de à , l'espace engendré par les premiers vecteurs, est le carré de la hauteur du parallélotope, et est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.

Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article orientation).