Matrice de Vandermonde

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En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.

De façon matricielle, elle se présente ainsi :

Autrement dit, pour tous i et j,

Remarque.
Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.

Inversibilité[modifier | modifier le code]

On considère une matrice V de Vandermonde carrée (). Elle est inversible si et seulement si les sont deux à deux distincts.

Démonstration

Si deux coefficients sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.

Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.

Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX = 0 pour X de composantes x0, …, xn-1 :

En introduisant le polynôme

,

on voit que si X vérifie l'équation VX = 0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré ; donc P est nul, et ainsi X = 0, ce qui prouve que V est inversible.

Déterminant[modifier | modifier le code]

Le déterminant d'une matrice de Vandermonde ( dans ce cas) peut s'exprimer ainsi[1] :

Applications[modifier | modifier le code]

La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale.

Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients i) sont les racines complexes de l'unité.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.
  2. Pour une preuve moins conceptuelle, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Interpolation lagrangienne

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971 ; pages 316 à 319.
  • Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, 3e édition, Bréal, 1994 ; pages 19 et 20.

Lien externe[modifier | modifier le code]

Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes