Indépendance linéaire

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En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs d'un même espace vectoriel, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres. Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient E un espace vectoriel et K son corps des scalaires.

Une famille (finie ou infinie) (v_i)_{i\in I} de vecteurs de E est dite libre, ou encore, la famille est constituée de vecteurs « linéairement indépendants[1] », si la seule combinaison linéaire des vecteurs v_i égale au vecteur nul 0E est celle dont tous les coefficients sont nuls (autrement dit : si toute combinaison linéaire des v_i à coefficients non tous nuls est différente du vecteur nul).

  • Lorsqu'il s'agit d'une famille finie (v_i)_{1\leq i\leq n}, cette condition s'écrit :
    \forall (a_1, \ldots, a_n)\in K^n, \quad \left(a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0_E\Rightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0\right).
  • Lorsque la famille (v_i)_{i\in I} est quelconque (finie ou pas), la condition s'écrit :
    \forall (a_i)\in K^{(I)}, \quad \left(\sum a_iv_i=0_E\Rightarrow \forall i\in I,~a_i=0\right),
    où un élément de K(I) est une famille, indexée par I, de scalaires tous nuls sauf un nombre fini.

Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants, ou encore la famille est dite liée. Ainsi, (v_i)_{i\in I} est une famille de vecteurs liée s'il existe une famille (a_j)_{j\in I} d'éléments de K tous nuls sauf un nombre fini non nul, telle que

\sum_{i\in I}a_iv_i=0_E.

À partir des notions de famille libre ou liée, on définit celles de partie libre ou liée : une partie A de E est dite libre (resp. liée) si la famille (a)_{a\in A} l'est.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple 0[modifier | modifier le code]

Dans l'espace vectoriel ℝ3, les trois vecteurs (2, –1, 1), (1, 0, 1) et (3, –1, 2) forment une famille liée car (2, –1, 1) + (1, 0, 1) – (3, –1, 2) = (0, 0, 0).

Exemple 1[modifier | modifier le code]

Dans l'espace vectoriel ℝ4, les trois vecteurs (4, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 0) et (6, 2, 4, –3) sont linéairement indépendants car leurs coordonnées, disposées en colonnes juxtaposées, forment une matrice

\begin{pmatrix}4&2&6\\
2&0&2\\
1&3&4\\
3&0&-3\end{pmatrix}

dont le rang est égal au nombre de vecteurs. En effet le 3-mineur

\begin{vmatrix}2&0&2\\
1&3&4\\
3&0&-3\end{vmatrix}=-36

est non nul donc le rang de la matrice est 3.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Toute base est (par définition) une famille libre, en particulier la base canonique du K-espace vectoriel Kn.

Exemple 3[modifier | modifier le code]

Dans l'espace vectoriel réel des fonctions de ℝ dans ℝ, l'ensemble infini non dénombrable des fonctions f_{\lambda}:t\mapsto e^{\lambda t} pour \lambda réel est libre.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La famille (v) et la partie {v} sont libres si et seulement si le vecteur v est non nul.
  • La famille (v1,v2) est liée si et seulement si v1 et v2 sont colinéaires (en particulier, la famille (v,v) est toujours liée, que v soit nul ou pas).
  • Si l'une des sous-familles d'une famille est liée (en particulier si deux de ses vecteurs sont colinéaires ou si l'un d'entre eux est nul), alors cette famille est liée. Autrement dit, si une famille est libre, alors toutes ses sous-familles sont libres.
  • Une famille est liée si et seulement si l'un de ses éléments est combinaison linéaire des autres.
  • Comme une combinaison linéaire porte sur un nombre fini de termes, une famille infinie est libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies le sont[2].
  • La famille vide et la partie vide sont libres[3].

Espace projectif des dépendances linéaires[modifier | modifier le code]

Une relation de dépendance linéaire de n vecteurs v_1,\ldots,v_n peut être représentée par un n-uplet (a_1,\ldots, a_n) de n scalaires, non tous nuls, tels que

a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0_E.

Si une telle relation de dépendance linéaire existe, alors les n vecteurs sont linéairement dépendants. Il est alors possible d'identifier deux relations de dépendances linéaires si l'une est multiple non nul de l'autre relation, parce que dans ce cas les deux correspondent à la même dépendance linéaire des vecteurs entre eux. Sous cette identification, l'ensemble des n-uplets décrivant les dépendances linéaires des vecteurs v_1, \ldots,v_n est un espace projectif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Serge Lang, Algebra,‎ 1965 [détail des éditions], 1965, p. 81.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, p. A-II-26, proposition 18.
  3. (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], 3.14, p. 92.

Articles connexes[modifier | modifier le code]