Théorème de Lax-Milgram

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Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient :

  • un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté , de norme associée notée  ;
  • une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si est complexe) qui est :
    • continue sur  : ,
    • coercive sur (certains auteurs disent plutôt -elliptique) :  ;
  • une forme linéaire continue sur .

Sous ces hypothèses, il existe un unique de tel que l'équation soit vérifiée pour tout de  :

Si de plus la forme bilinéaire est symétrique, alors est l'unique élément de qui minimise la fonctionnelle définie par pour tout de , c'est-à-dire :

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur tel que

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu tel que

La proposition se réécrit alors :

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que est une bijection de sur . On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout

d'où pour tout de , ce qui montre que est injectif et d'image fermée. Notons cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que .

Soit ensuite un élément de , on a par définition et donc :

d'où . Ainsi, est réduit à , ce qui montre que est surjectif.

L'endomorphisme est bijectif, il existe donc un unique de tel que et il est donné par .

Remarque[modifier | modifier le code]

Sans calculer on a l'inégalité

désigne la norme de l'espace dual .

Cas symétrique[modifier | modifier le code]

Si la forme bilinéaire est symétrique, on a pour tout de  :

Comme est l'unique solution de la proposition (1), cela donne

Et comme est coercive, on a :

On a donc pour tout , d'où le résultat .

Applications[modifier | modifier le code]

  • Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis, on peut en effet montrer que si au lieu de chercher dans l'on cherche dans , un sous espace de de dimension finie , alors d'une part :
    • Dans le cas où est symétrique est le projeté de au sens du produit scalaire défini par
    • Si l'on se donne une base de , le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :
avec et .

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Théorème de Babuška-Lax-Milgram (en)