Matrice laplacienne

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Ne doit pas être confondu avec Laplacien.

En théorie des graphes, une matrice laplacienne, ou matrice de Laplace, est une matrice représentant un graphe.

Définition[modifier | modifier le code]

La matrice laplacienne d'un graphe G non orienté et non réflexif est définie par : est la matrice des degrés de G et la matrice d'adjacence de G[1]. Formellement :

Exemple[modifier | modifier le code]

Graphe non orienté Matrice des degrés Matrice d'adjacence Matrice laplacienne
6n-graf.svg

Applications[modifier | modifier le code]

La matrice laplacienne est utilisée par le théorème de Kirchhoff pour calculer le nombre d'arbres couvrants d'un graphe.

Le spectre de la matrice laplacienne est étudiée en théorie spectrale des graphes. Cette étude permet entre autre de définir des méthodes spectrales pour le partitionnement de graphe.

Variantes[modifier | modifier le code]

Graphe pondéré[modifier | modifier le code]

Plus généralement, soit un graphe non orienté et non réflexif G = (S, A) à n sommets, pondéré par la fonction poids qui à toute arête associe son poids . La matrice laplacienne de G vérifie :

Graphe orienté[modifier | modifier le code]

Ces définitions peuvent se généraliser aux graphes orientés ; dans ce cas, la matrice laplacienne n'est plus symétrique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Laurent et Pierre Beauguitte, Opérations matricielles et analyse de graphe, automne 2011