La transposée
AT d'une matrice
A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (
AT)
T est la matrice
A d'origine.
En mathématiques, la matrice transposée (ou la transposée) d'une matrice
est la matrice
, également notée
,
ou
[1], obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de
.
Plus précisément, si on note
pour
et
pour
les coefficients respectivement de
et de
alors pour tout
on a
.
Par exemple, si

alors
.
On suppose ici que K est un anneau commutatif. On note
et
deux matrices quelconques de
et
un scalaire.
- L'application « transposition » est linéaire :
.
- La transposée de
est
. Par conséquent, l'application « transposition »
est bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier — pour les matrices carrées — c'est une involution de
; c'est donc la symétrie par rapport au sous-espace des matrices symétriques, parallèlement à celui des matrices antisymétriques.
- La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :
.
- En particulier, l'application « transposition » est donc un antiautomorphisme de l'algèbre
.
- Si une matrice carrée
est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de
est égale à l'inverse de sa transposée :
.
- Une matrice carrée et sa transposée ont même diagonale principale (et par conséquent même trace). En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.
- Plus généralement, deux matrices carrées transposées l'une de l'autre ont même polynôme caractéristique donc mêmes valeurs propres, comptées avec leurs multiplicités (en particulier, non seulement même trace mais aussi même déterminant), et même polynôme minimal. Mieux : sur un corps, elles sont semblables[2]. Cela peut se montrer en remarquant qu'elles ont les mêmes invariants de similitude, ou bien en utilisant la réduction de Jordan, et en remarquant que
, où J est un bloc de Jordan et S une matrice de permutation antidiagonale (en).
Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f : E → E' par rapport à deux bases orthonormales B et B', alors sa transposée AT est la matrice, dans les bases B' et B, de son opérateur adjoint f * : E' → E, caractérisé par

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée AT est la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir « Espace dual »).
Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.
Si
est un anneau non commutatif, on considère la transposée
d'une matrice
de
plutôt comme un élément de
, où
est l'anneau opposé de
, de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,
.
Complément
Vérifions qu'on peut identifier l'anneau

avec l'anneau

, la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant
l'ensemble 
avec l'ensemble

, les matrices

s'identifient à leurs éléments respectifs

. L'application

de

dans

est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de
l'anneau 
avec l'anneau

; en particulier,

s'identifie à

. Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées

à

respectivement, on a dans

, d'après ce qui précède,

où

est le produit de

et

dans

, à savoir

. Par conséquent,

, donc

s'identifie à

, ce qui exprime la compatibilité attendue.
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