Matrice transposée

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La transposée AT d'une matrice A s'obtient par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice. La transposée de la transposée (AT)T est la matrice A d'origine.

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice est la matrice notée (aussi parfois notée , notation recommandée par la norme ISO 80000-2:2009, article 2-15.7 ou ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de .

Si = alors .

Exemple : si alors .

Propriétés[modifier | modifier le code]

On suppose ici que K est un anneau commutatif.

  • L'application « transposition » est linéaire :
  • La transposée de est . Autrement dit, l'application « transposition » est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels. Cette application est la symétrie par rapport à l'espace des matrices symétriques (de taille n) parallèlement à l'espace des matrices antisymétriques (de taille n).
  • La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse : En effet,
  • Si une matrice carrée est inversible, alors sa transposée l'est aussi, et la transposée de l'inverse de est égale à l'inverse de sa transposée :
  • Si désigne une matrice carrée de taille et sa transposée, alors et ont la même diagonale principale (et par conséquent la même trace) :
En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

Interprétation : dualité[modifier | modifier le code]

Espaces euclidiens[modifier | modifier le code]

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f : EE' par rapport à deux bases orthonormales B et B', alors sa transposée AT est la matrice, dans les bases B' et B, de son opérateur adjoint f * : E'E, caractérisé par :

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée AT est la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir « Espace dual »).

Hypergraphes[modifier | modifier le code]

Dans la théorie des hypergraphes, si l'on représente un hypergraphe par la matrice à coefficients dans {0,1} qui lui est associée, l'hypergraphe dual est défini par la transposée de cette matrice.

Cas d'un anneau de scalaires non commutatif[modifier | modifier le code]

Si est un anneau non commutatif, on considère la transposée d'une matrice de plutôt comme un élément de , où est l'anneau opposé de , de manière à conserver la compatibilité avec la multiplication,

Vérifions qu'on peut identifier l'anneau avec l'anneau , la transposition étant compatible avec cette identification : en identifiant l'ensemble avec l'ensemble , les matrices s'identifient à leurs éléments respectifs . L'application de dans est clairement un isomorphisme d'anneaux, d'où l'identification de l'anneau avec l'anneau  ; en particulier, s'identifie à . Il reste à montrer que la transposition est compatible avec cette identification. En identifiant les matrices transposées à respectivement, on a dans , d'après ce qui précède, est le produit de et dans , à savoir . Par conséquent, , donc s'identifie à , ce qui exprime la compatibilité attendue.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Matthieu Romagny, Une remarque sur la transposée d'une matrice, préparation 2008-2009 à l'agrégation de mathématiques, UPMC

Voir aussi[modifier | modifier le code]