Matrice diagonale

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En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.

Une matrice diagonale est une matrice qui correspond à la représentation d'un endomorphisme diagonalisable dans une base de vecteurs propres. La matrice d'un endomorphisme diagonalisable est semblable à une matrice diagonale.

Toute matrice diagonale est aussi une matrice symétrique, une matrice normale et une matrice triangulaire. La matrice identité In est diagonale.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit D une matrice carrée à coefficient dans K.

\forall n \in \mathbb{N}^* , \ D = (d_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(K)

D est une matrice diagonale si et seulement si elle vérifie :

\forall(i,j) \in  [\![ 1, n ]\!]^2 , \ i \ne j \ \Rightarrow \ d_{i,j} = 0

Exemples[modifier | modifier le code]

Les matrices suivantes sont diagonales :

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}

En revanche les matrices suivantes ne sont pas diagonales :

\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -3 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \end{pmatrix}

Notation[modifier | modifier le code]

Comme une matrice diagonale est entièrement déterminée par la liste de ses éléments diagonaux, la notation suivante plus concise est souvent adopté :

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \begin{pmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_n
\end{pmatrix}

Utilisations[modifier | modifier le code]

Les matrices diagonales apparaissent dans presque tous les domaines de l'algèbre linéaire. La multiplication de matrices diagonales est très simple ; aussi, si une matrice intéressante peut d'une certaine façon être remplacée par une matrice diagonale, alors les calculs qui l'impliquent seront plus rapides et la matrice plus facile à stocker en mémoire. Un procédé permettant de rendre certaines matrices diagonales est la diagonalisation.

Une matrice presque diagonale (on la dit alors matrice à diagonale dominante) peut être inversée sous réserve de non-intersection de ses cercles de Gershgorin.

Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées.

Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive bordée par zéros.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Multiplication[modifier | modifier le code]

Les matrices diagonales forment une sous-algèbre commutative de \mathcal{M}_n(K).

En d'autres termes, pour toutes matrices diagonales D = \mathrm{diag((d_i)_{1 \le i \le n})} et E = \mathrm{diag((e_i)_{1 \le i \le n})} on a :

  • Pour tout (\lambda,\mu) \in K^2, \lambda D + \mu E = F avec F = \mathrm{diag}((\lambda d_i + \mu e_i)_{1 \le i \le n})
  • DE = ED = G avec G = \mathrm{diag}((d_i e_i)_{1 \le i \le n})

Une conséquence de cela est qu'élever une matrice diagonale D à une certaine puissance revient à élever les coefficients de la diagonale de D à cette puissance :

D^k = \mathrm{diag}( d_{i,j} )^k = \mathrm{diag}( d_{i,j}^k )

Déterminant[modifier | modifier le code]

Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux :

\det ( \mathrm{diag}(a_1, a_2, \ldots, a_n) ) = \begin{vmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_n
\end{vmatrix} = \prod_{k=1}^n a_k

Inversibilité[modifier | modifier le code]

Une matrice diagonale est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, c'est-à-dire si et seulement si tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, l'inverse d'une matrice diagonale est une matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont les inverses des coefficients diagonaux de la matrice de départ.

En effet, si :

A=\mathrm{diag}(a_1, a_2, ..., a_n)=\begin{pmatrix}
a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & a_n
\end{pmatrix}

alors

A^{-1} = \mathrm{diag}(\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, ..., \frac{1}{a_n}) = \begin{pmatrix}
1/a_1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & 1/a_2    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & 1/a_n
\end{pmatrix}

du fait que

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}
1    & 0      & \ldots & 0      \\
0      & 1    & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0      \\
0      & \ldots & 0      & 1
\end{pmatrix}=I_n

soit la matrice identité.

Autres[modifier | modifier le code]

Une matrice diagonale étant symétrique, est invariante par transposition.

Matrice scalaire[modifier | modifier le code]

Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux[1].

Si K est un corps commutatif, le centre du groupe linéaire GL(n, K) est formé des matrices scalaires non nulles à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, ch. 2, Paris, 1970, p. II.151.
  2. Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, tirage de 1999, théorème 8.9, p. 222.

Voir aussi[modifier | modifier le code]