Inégalité de Minkowski

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En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l’inégalité triangulaire pour la norme des espaces Lp pour p ≥ 1, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.

Elle concerne également la norme des espaces de suites ℓp.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient \scriptstyle(S,\mathcal A,\mu) un espace mesuré, p∈[1,+∞[ et deux fonctions f, g∈Lp(S). Alors

||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p,

c'est-à-dire

\left(\int_S|f+g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p} \leq\left(\int_S|f|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}+\left(\int_S|g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}.

De plus, pour p > 1, il y a égalité si et seulement si |f| et |g| sont colinéaires presque partout (pp), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α |f| + β |g| = 0 pp.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans ℝn (ou ℂn) et même de séries (n = ∞) :

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}.

Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant une mesure de dénombrement.