Inégalité de Minkowski

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En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l'inégalité triangulaire pour la norme des espaces Lp pour p ≥ 1, établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.

Elle concerne également la norme des espaces de suites ℓp.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient un espace mesuré, p ∈ [1,+∞[ et deux fonctions f, g ∈ Lp(X). Alors

c'est-à-dire

De plus, pour p > 1, il y a égalité si et seulement si f et g sont positivement liées presque partout (p.p.), c'est-à-dire si f = 0 p.p. ou s'il existe un réel λ ≥ 0 tel que g = λf p.p.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans ℝn (ou ℂn) et même de séries (n = ∞) :

Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant la mesure de comptage.

Inégalité intégrale de Minkowski[modifier | modifier le code]

Soient et deux espaces mesurés σ-finis et une fonction mesurable positive sur leur produit. Alors, pour tout p ∈ [1,+∞[[1],[2],[3] :

Dans le cas où est une paire et la mesure de comptage, l'hypothèse de σ-finitude pour est superflue et l'on retrouve l'énoncé précédent.

Dans le cas où p > 1, il y a égalité (si et) seulement s'il existe mesurables positives (sur et respectivement) telles que F(x,y) = φ(x)ψ(y) p.p. pour la mesure produit.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, PUP, (lire en ligne), p. 271, § A.1.
  2. (en) G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities, CUP, , 2e éd. (1re éd. 1934) (lire en ligne), p. 148, th. 202.
  3. (en) René Erlín Castillo et Humberto Rafeiro, An Introductory Course in Lebesgue Spaces, Springer, coll. « CMS Books in Mathematics », (lire en ligne), p. 57, th. 3.25.