Matrice de Sylvester

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En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n

La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée [1] définie ainsi :

  • la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de zéros
     ;
  • la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ;
  • les n – 2 lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ;
  • la ligne n + 1 est formée des coefficients de q, suivis de zéros
     ;
  • les m – 1 lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.

Ainsi dans le cas m = 4 et n = 3, la matrice obtenue est


Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.

Remarque : si m = 0 (p constant), alors la matrice n'a aucune ligne formée des coefficients de q ; c'est la matrice scalaire p0 Idn. De même, si n = 0, c'est la matrice q0 Idm. Si m = n = 0 (p et q constants), la matrice de Sylvester est la matrice vide donc le résultant de p et q vaut 1.

Applications[modifier | modifier le code]

L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré < n) et y (de degré < m)

peut être réécrite matriciellement

dans laquelle t désigne la transposition, est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.

Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec et .

Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.

Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]