Matrice compagnon

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Matrice et Compagnon.

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

est la matrice carrée suivante[1],[2],[3] :

mais il existe d'autres conventions :

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de C(p) sont égaux à p (ou (–1)np selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, …, λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

V est la matrice de Vandermonde associée à λ1, …, λn (réciproquement, la matrice compagnon n'est diagonalisable que dans ce cas, où l'on dit que p est un polynôme scindé à racines simples[réf. souhaitée]).

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont équivalentes :

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que le polynôme caractéristique de chacune divise celui de la suivante ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions] , vol. 1, p. 365.
  2. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], § 11.102.
  3. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie MP, Éditions Bréal, 2004 (ISBN 978-2-7495-0388-2), p. 186.
  4. David C. Lay, Algèbre linéaire : Théorie, exercices et applications, De Boeck, 2004 (ISBN 978-2-8041-4408-1), p. 372.
  5. Dany-Jack Mercier, Exercices pour le CAPES mathématiques (externe et interne) et l'agrégation interne, vol. 1, Publibook, 2005 (ISBN 978-2-7483-0995-9), p. 103.
  6. Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco et Fausto Saleri, Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications, Springer, 2007 (ISBN 978-88-470-0495-5), p. 207.
  7. Jacques Rappaz et Marco Picasso, Introduction à l'analyse numérique, PPUR, 1998 (ISBN 978-2-88074-363-5), p. 106.

Voir aussi[modifier | modifier le code]