Sous-espace vectoriel

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En algèbre linéaire, un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Cette stabilité s'exprime par :

  • la somme de deux vecteurs de F appartient à F ;
  • le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

Muni des lois induites, F est alors un espace vectoriel. L'intersection d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace de E. La réunion d'une famille non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le sous-espace engendré par cette réunion est la somme de cette famille.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel sur un corps K.

Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si[1] :

  1. (F, +) est un sous-groupe additif de (E, +) ;
  2. le produit d'un vecteur de F par un scalaire appartient à F.

En effet, la condition 1, plus forte que la condition « F est non vide et stable par sommes », lui est équivalente en présence de la condition 2 car cette dernière entraîne que F est stable par opposés (si uF alors –u = (–1)∙uF).

Une caractérisation intermédiaire donc également équivalente[2] est :

Une partie de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si elle contient le vecteur nul 0E et elle est stable par combinaisons linéaires.

Par ailleurs, la stabilité par combinaisons linéaires possède des formulations équivalentes à celle du résumé introductif, comme \forall u,v\in F,\forall\lambda,\mu\in K,~\lambda u+\mu v\in F ou encore \forall u,v\in F,\forall\lambda\in K,~\lambda u+v\in F.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriété essentielle[modifier | modifier le code]

Pour tout sous-espace vectoriel F d'un espace E, la stabilité par combinaisons linéaires permet de restreindre (au départ et à l'arrivée) les deux lois d'espace vectoriel de E en deux applications + : F×FF et ∙ : K×FF. Muni de ces deux applications,

F est automatiquement, comme E, un espace vectoriel.

En effet, (F, +) est un (sous-)groupe et tous les autres axiomes d'espace vectoriel (comme la commutativité de +) restent vrais dans F par restriction car ils ne font intervenir que des quantificateurs universels ∀.

Ceci permet de démontrer à peu de frais qu'une structure donnée est un espace vectoriel : il suffit de vérifier qu'elle est un sous-espace d'un espace déjà connu. Par exemple, les polynômes à coefficients dans K forment un espace vectoriel, comme sous-espace K(ℕ) de l'espace K des suites (en identifiant tout polynôme à la suite, nulle à partir d'un certain rang, de ses coefficients).

Dimension[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Dimension d'un espace vectoriel et Codimension.

Pour tout sous-espace F de E on a :

  • dim(F) ≤ dim(E) ;
  • si E est de dimension finie et si dim(F) = dim(E), alors F = E[3]. Cette implication devient fausse en dimension infinie.

Intersection de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors F1F2 est un sous-espace vectoriel de E.

Plus généralement, pour toute famille non vide (Fi)iI de sous-espaces vectoriels de E, l'intersection ⋂iI Fi est un sous-espace vectoriel de E[4].

Réunion de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

La réunion de deux sous-espaces n'est un sous-espace que lorsque l'un des deux sous-espaces est inclus dans l'autre. En effet, dans le cas contraire, cette réunion n'est pas stable par addition.

Si le K-espace vectoriel E est infini, la réunion d'une famille non vide de sous-espaces de E est un sous-espace dès que la famille est filtrante, c'est-à-dire dès que la réunion de deux éléments quelconques de la famille est incluse dans un élément de la famille. Par contre, si E est fini, cette propriété n'a pas lieu; qu'on considère par exemple l'espace vectoriel E=F_2\times F_2, où F_2=\{0,1\} est le corps des congruences modulo 2. Alors \{(0,0), (1,0)\},\ \{(0,0), (0,1)\} et \{(0,0),(1,1)\} sont trois sous espaces vectoriels de E, et ils ne constituent pas une famille filtrante. Néanmoins, il est clair que leur union est E.

Si un K-espace vectoriel E est réunion d'une famille finie de sous-espaces différents de E, alors le corps K est fini.

Somme de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Leur somme F1 + F2, définie par F_1+F_2=\{x_1+x_2\mid x_1\in F_1,x_2\in F_2\}, coïncide avec le sous-espace engendré par F1F2.

Plus généralement, la somme ∑iI Fi d'une famille non vide (Fi)iI de sous-espaces vectoriels de E, définie comme l'ensemble vecteurs x de E qui admettent au moins une décomposition de la forme x = ∑iI xi avec xiFi (tous nuls sauf un nombre fini), est égale au sous-espace engendré par la réunion des Fi.

Si de plus cette décomposition de tout vecteur de ∑iI Fi est unique, la somme est dite directe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, chap. 10, § 3, p. 168 : « Sous-modules, sous-espaces vectoriels ».
  2. On peut aussi démontrer cette équivalence directement : si une partie est stable par combinaisons linéaires et contient un vecteur u, alors elle contient aussi le vecteur 0∙u = 0E.
  3. (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], proposition 3.20, p. 93.
  4. Artin 1991, Exercice 1.2, p. 104.

Articles connexes[modifier | modifier le code]