Volume

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Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.

Mesure du volume[modifier | modifier le code]

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.

Unités de volume[modifier | modifier le code]

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :

  • le mètre cube dit normal exprimé en m3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 0 °C ;
  • le mètre cube dit standard exprimé en m3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 15 °C.

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dits corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X cubes unité correspond à 8 X cm3.

Article détaillé : Unité de volume.

Quelques formules[modifier | modifier le code]

Dans la suite on notera :

  • le volume d'une figure ;
  • et les aires de la grande base et de la petite base ;
  • la hauteur (ou distance séparant les deux faces) ;
  • ou le diamètre ;
  • ou le rayon ;
  • a l'arête ;
  • ou la longueur et la largeur d'un rectangle.

Les solides de Platon[modifier | modifier le code]

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes. Leurs volumes respectifs sont donnés par les formules suivantes :

polyèdre volume
Tétraèdre régulier
Animation d'un tétraèdre
Cube
Animation d'un cube
Octaèdre régulier
Animation d'un octaèdre
Dodécaèdre régulier
Animation d'un dodécaèdre
Icosaèdre régulier est le nombre d'or
Animation d'un icosaèdre

Les prismes et cylindres[modifier | modifier le code]

La formule générale est toujours : (volume = aire de la base × hauteur), que le prisme ou le cylindre soit droit ou pas.

En particulier,

  • pour le parallélépipède rectangle ou pavé : ,
  • pour le cylindre de révolution : .

Les pyramides et cônes[modifier | modifier le code]

La formule générale est toujours :

  • Le cône de révolution :
  • La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base :

La boule[modifier | modifier le code]

  • La boule a pour volume ou
  • Pour une calotte sphérique, ou est le rayon de la boule, est le rayon de la calotte et la hauteur de la calotte.
  • Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteur H du cylindre:
  • Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : est la hauteur de la calotte et le rayon de la boule.

Solides de révolution[modifier | modifier le code]

Article détaillé : théorème de Guldin.

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité de l'élément de surface .

est la distance séparant le point de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

  • le tore : est le rayon du cercle de centre tournant autour de l'axe et où est la distance de à .
  • le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si et sont les surfaces des bases et la surface de la section à mi-hauteur alors

Autres[modifier | modifier le code]

  • Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : est le rayon du cercle de base et la hauteur du conoïde.
  • Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : et sont les surfaces des deux bases rectangulaires et la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée en génie civil dans les calculs de volume de terrassement et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine des travaux publics.

Volume et calcul intégral[modifier | modifier le code]

Article détaillé : intégrale multiple.

Si est une partie bornée de , le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de , délimité par le plan et la surface d'équation – avec positive et continue sur – est :

Dans le cas où le domaine est défini par des conditions simples , , ce calcul se ramène à :

Si est une partie bornée de et si la fonction constante 1 est intégrable sur , le volume de est alors

Dans le cas où le domaine est défini par des conditions simples , et , ce calcul se ramène à :

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples , le calcul peut s'exprimer par

est une partie bornée de

Si le domaine s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples , le calcul peut s'exprimer par

est une partie bornée de .

Dans le cas où le domaine est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation autour de l'axe , le calcul du volume se réduit à une intégrale simple

Enfin, le théorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

est la frontière de , et le vecteur unitaire normal à dirigé vers l'extérieur de .

Articles connexes[modifier | modifier le code]