Décomposition de Schur

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant l’algèbre
Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

M = UAU*

U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M[1],[2].

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale[3]. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Cas réel[modifier | modifier le code]

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

M = PA tP

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur decomposition » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), p. 79 et s.
  2. (en) Gene H. Golub (en) et Charles F. Van Loan (en), Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, , 3e éd. (ISBN 978-0-8018-5414-9, lire en ligne), p. 313.
  3. Golub et Van Loan 1996, p. 314.