Comatrice

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En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée A est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de A, interviennent dans le développement du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne. Si A est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse.

Dans cette page, A désigne une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K.

Définitions[modifier | modifier le code]

Le cofacteur d'indice i, j de A est :

, où
  • est la matrice carrée de taille n déduite de A en remplaçant la j-ème colonne par une colonne constituée uniquement de zéros, sauf un 1 sur la i-ème ligne ;
  • est la sous-matrice carrée de taille n – 1 déduite de A en supprimant la i-ème ligne et de la j-ème colonne (son déterminant fait donc partie des mineurs de A).

La comatrice de A est la matrice de ses cofacteurs.

Formules de Laplace[modifier | modifier le code]

On peut calculer le déterminant de A en fonction des coefficients d'une seule colonne et des cofacteurs correspondants. Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d'un déterminant d'ordre n à celui de n de déterminants d'ordre n – 1.

Formules de développement d'un déterminant d'ordre n[1] :

  • par rapport à la colonne j :
     ;
  • par rapport à la ligne i :
    .

Généralisation[modifier | modifier le code]

La formule suivante[1] se déduit des formules de Laplace et les inclut :

,

désigne la matrice identité de même taille n que A.

La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire[2] de A. Notamment si est inversible dans K, alors A est inversible dans Mn(K) et son inverse est un multiple de la matrice complémentaire, ce qui veut dire qu'on a obtenu une formule pour l'inverse, ne nécessitant « que » des calculs de déterminants :

.

Cette formule n'a guère qu'un intérêt théorique car en pratique, elle est trop lourde pour calculer explicitement A−1 dès que n ≥ 4 et la méthode plus élémentaire à base d'opérations élémentaires sur les lignes (inversion par pivot de Gauss) est plus efficace, aussi bien pour l'homme que pour la machine.

Propriétés de la comatrice[modifier | modifier le code]

  • Compatibilité avec la transposition : com(tA) = t(comA).
  • Compatibilité avec le produit[3] : com In = In et pour toutes matrices carrées A et B d'ordre n, com(AB) = (comA)(comB).
  • Rang (si K est un corps commutatif) :
    • si A est de rang n (c.-à-d. A inversible), comA aussi ;
    • si A est de rang n – 1, avec n ≥ 2, comA est de rang 1 ;
    • si A est de rang inférieur ou égal à n – 2, comA = 0.
  • Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1.
  • Comatrice de la comatrice[3] : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A.
  • Si P(X) = det(A – X In) est le polynôme caractéristique de A et si Q est le polynôme défini par Q(X) = (P(0) – P(X))/X, alors[3] : t(comA) = Q(A).

Variations de la fonction déterminant[modifier | modifier le code]

On suppose ici que K est le corps des réels, et l'on s'intéresse à l'application déterminant, vue comme fonction des coefficients de la matrice :

.

La formule de Leibniz montre que c'est une fonction polynomiale (homogène) donc indéfiniment différentiable.

On peut retrouver et préciser cette régularité grâce aux formules de Laplace (voir supra) : en un point A quelconque de Mn(ℝ), la fonction det est affine par rapport à la variable d'indice i, j, et sa dérivée partielle est le cofacteur de A de même indice :

On en déduit, toujours au point A, le gradient de det (si l'on munit Mn(ℝ) de son produit scalaire canonique) :

ou encore, sa différentielle donc son développement limité à l'ordre 1 : .

Notamment pour le cas où A est la matrice identité : .

Comatrice et produit vectoriel[modifier | modifier le code]

Si A est une matrice d'ordre 3, elle agit sur les vecteurs de l'espace à trois dimensions muni d'une base orthonormée d'orientation directe. La comatrice de A décrit alors l'interaction de A avec le produit vectoriel :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Ces formules incontournables sont démontrées dans tous les cours d'algèbre linéaire, comme :
  2. Dans la littérature anglo-saxonne, la matrice complémentaire (transposée de la comatrice) est parfois appelée « matrice adjointe », ce qui crée un risque de confusion avec la matrice adjointe au sens de transposée de la matrice conjuguée
  3. a b et c Henri Lombardi et Claude Quitté, Algèbre commutative — Méthodes constructives — Modules projectifs de type fini, Calvage & Mounet, (1re éd. 2011) (arXiv 1611.02942, présentation en ligne), p. 96-97.