Matrice orthogonale

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Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) orthogonale est une matrice unitaire à coefficients réels. Elle vérifie donc tA A = In, où tA est la matrice transposée de A et In est la matrice identité.

Exemples[modifier | modifier le code]

Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ

\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

ou les matrices de permutation, comme

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Une matrice A est orthogonale si et seulement si : A est à coefficients réels, est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A−1 = tA.
  • Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si tous ses vecteurs colonne sont orthogonaux entre eux et de norme 1. Ainsi une matrice orthogonale représente une base orthonormale.
  • Également, une matrice carrée est orthogonale si et seulement si sa transposée l'est (i.e. A tA = In), donc si et seulement si ses vecteurs ligne sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.
  • Le déterminant d'une matrice orthogonale est de carré 1, c'est-à-dire qu'il est égal à +1 ou –1 (la réciproque est trivialement fausse). Une matrice orthogonale est dite directe si son déterminant vaut +1 et indirecte s'il vaut –1.
  • Le conditionnement d'une matrice orthogonale est égal à 1.
  • La multiplication d'un vecteur par une matrice orthogonale préserve la norme de ce vecteur.
  • L'ensemble de ces matrices est un groupe appelé groupe orthogonal et noté O(n, R). Il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des isométries vectorielles, aussi appelées automorphismes orthogonaux, de l'espace euclidien Rn. Plus précisément, un endomorphisme d'un espace euclidien est orthogonal si, et seulement s'il existe une base orthonormée dans laquelle sa matrice est orthogonale (et si tel est le cas, sa matrice dans toute base orthonormée sera encore orthogonale).
  • L'ensemble des matrices orthogonales directes (de déterminant égal à 1) forme un sous-groupe du groupe orthogonal, appelé groupe spécial orthogonal et noté SO(n, R). En dimension 3, il s'interprète de manière géométrique comme étant l'ensemble des rotations de l'espace euclidien R3 (l'axe de rotation étant donné par le sous-espace propre associé à la valeur propre +1).
  • Ce résultat se généralise ainsi en dimension quelconque : toute matrice orthogonale est semblable, via une matrice de passage elle-même orthogonale, à une matrice de la forme
    \begin{pmatrix}
\begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_p\end{matrix} & 0 \\
0 & \begin{matrix}\varepsilon_1& & \\ & \ddots & \\ & &\varepsilon_q\end{matrix} \\
\end{pmatrix},
    où les Ri sont des matrices de rotations planes et chaque εj vaut soit 1, soit –1.