Matrice à diagonale dominante

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En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si , on a alors

De la même manière, est dite à diagonale strictement dominante lorsque

Exemples[modifier | modifier le code]

La matrice

vérifie

car
car
car

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

vérifie

car

mais

car

et

car

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

vérifie

car

puis

car

enfin

car

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'Hadamard[modifier | modifier le code]

Le lemme « d'Hadamard »[1] est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si est une matrice à diagonale strictement dominante alors est inversible.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soient à diagonale strictement dominante et tels que . On a alors :

et il s'agit d'en déduire que est nul.

Soit tel que

On a , d'où

Comme on en déduit que , autrement dit .

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga (en), Geršgorin and His Circles, Springer, (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31

Articles connexes[modifier | modifier le code]