Matrice stochastique

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En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée (finie ou infinie) dont chaque élément est un réel positif et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en théorie des probabilités, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une matrice est dite stochastique si toutes ses entrées sont positives (ou nulles) et si, pour tout , on a , c'est-à-dire que la somme des coordonnées de chaque ligne vaut 1.

Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier tel que la matrice ne contient que des réels strictement positifs.

Une matrice est dite bistochastique (ou doublement stochastique) si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1, autrement si et sa transposée sont stochastiques.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Une autre caractérisation des matrices stochastiques est donnée par :

  • est une matrice stochastique si et seulement si et , où désigne le vecteur de dont toutes les coordonnées valent 1.
  • est bistochastique si , et , où est le vecteur transposé de où .

D'après la propriété précédente, puisque 1 est une valeur propre de avec comme vecteur propre à droite le vecteur colonne dont toutes les coordonnées valent 1 :

  • Si est une matrice stochastique, on appelle vecteur stable pour un vecteur ligne non nul tel que , autrement dit : un vecteur propre à gauche pour la valeur propre 1 (et possède toujours au moins un vecteur stable).

Une caractérisation du rayon spectral d'une matrice stochastique est donnée par :

  • Si est une matrice stochastique, alors pour tout , de sorte que le rayon spectral . Or, comme , on a en fait . Ainsi, le rayon spectral d'une matrice stochastique vaut précisément 1.

D'autres résultats sont donnés par :

  • Le produit de deux matrices stochastiques est stochastique.
  • Toute matrice stochastique indexée par E×E opère sur l'espace des applications bornées de E dans .
  • Si est une matrice stochastique et si est une probabilité alors est une probabilité.

Exemple[modifier | modifier le code]

La matrice suivante est stochastique mais pas bistochastique :

Le vecteur est stable pour M.

La matrice stochastique M est régulière car

Théorème des matrices stochastiques[modifier | modifier le code]

Le théorème des matrices stochastiques stipule que, si A est une matrice stochastique régulière, alors

De plus, si x0 est une loi initiale quelconque (i.e. est un vecteur à coordonnées positives ou nulles et de somme 1), et si xk+1 = xkA pour k = 0, 1, 2, … alors la chaîne de Markov {xk} converge vers t quand . C’est-à-dire :

Quelques autres résultats[modifier | modifier le code]

Le rôle des matrices stochastiques est important, notamment dans l'étude des chaînes de Markov. Une caractéristique importante des matrices doublement stochastiques (ou bistochastiques) est fourni par les matrices de permutation , , dont les coefficients valent , avec le symbole de Kronecker.

Le théorème de Birkhoff montre ce rôle central qu'ont les matrices de permutations dans la caractérisation des matrices bistochastiques :

Théorème de Birkhoff — Une matrice est doublement stochastique si et seulement si elle est barycentre de matrices de permutations.

Une conséquence de théorème est donnée par le résultat suivant[1] :

Corollaire — Soit une norme sur , invariante par permutation des coordonnées. Alors pour toute matrice doublement stochastique.

Deux autres résultats sur les matrices bistochastiques utilisent la relation décrite par le symbole , défini par : Soient et deux suites de nombres réels. On dit que b majore a, et on note si :

  • pour tout  ;
  • .

Il s'agit d'une relation d'ordre partielle.

Les deux théorèmes sont :

Théorème — Une matrice est doublement stochastique si et seulement si pour tout .

Théorème — Soient . ALors si et seulement s'il existe une matrice , doublement stochastique, telle que .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Denis Serre, Les Matrices : Théorie et pratique, Paris, Dunod, , 176 p. (ISBN 2-10-005515-1).Document utilisé pour la rédaction de l’article

Référence[modifier | modifier le code]

  1. F. L. Bauer, J. Stoer et C. Witzgall, « Absolute and monotonic norms », Numerische Mathematik, vol. 3, no 1,‎ , p. 257–264 (ISSN 0029-599X et 0945-3245, DOI 10.1007/bf01386026, lire en ligne, consulté le 2 février 2020)

Articles connexes[modifier | modifier le code]