Théorème de Stampacchia

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Le théorème de Stampacchia (en) est un théorème d'analyse fonctionnelle. C'est un raffinement du théorème de Lax-Milgram.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient

  • un espace de Hilbert réel muni de son produit scalaire noté (la norme induite étant notée ).
  • une partie convexe fermée non vide de
  • une forme bilinéaire qui soit
    • continue sur  :
    • coercive sur  :
  • une forme linéaire continue sur

Sous ces conditions, il existe un unique de tel que

Si de plus la forme bilinéaire est symétrique, alors ce même est l'unique élément de qui minimise la fonctionnelle définie par pour tout de , en particulier :

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur tel que

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu tel que

De plus, la norme de A est égale à celle de a, d'où

Avec ces éléments, la relation (1) s'écrit de manière équivalente

Pour tout réel strictement positif, c'est également équivalent à

Ce qui, en utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, se réécrit

est l'opérateur de projection sur . Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que pour un certain , il existe un unique qui vérifie l'équation de point fixe où l'application est définie par .

Pour cela, choisissons de telle façon que soit une application contractante. Soient et deux éléments de . Comme l'opérateur de projection est 1-lipschitzien, on a

D'où

Comme la forme bilinéaire est coercive, on a . Par ailleurs, en utilisant la relation (3), on a l'inégalité . Par conséquent,

L'application est contractante dès que , c'est-à-dire si on a . En choisissant un tel et en utilisant le théorème de point fixe de Picard, on montre qu'il existe effectivement un unique tel que , ce qui conclut la démonstration.

Cas symétrique[modifier | modifier le code]

Si la forme bilinéaire est symétrique, on montre facilement qu'elle définit un produit scalaire sur . La coercivité implique que est définie et positive. On note par ce produit scalaire qui est défini par :

Par application du théorème de Riesz (Attention, pour utiliser le théorème de Riesz, il faut vérifier que l'espace muni du nouveau produit scalaire est bien de Hilbert : procéder par équivalence des normes) sur les formes linéaires, il existe un unique tel que pour tout .

La relation (1) s'écrit alors de manière équivalente :

En utilisant le théorème de projection sur un convexe fermé, on a de manière équivalente :

est l'opérateur de projection sur utilisant le produit scalaire défini par . La relation (1) est donc équivalente à :

soit encore

ou bien

,

ce qui conclut la démonstration.

Applications[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]