Décomposition polaire

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La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

Décomposition polaire d'une matrice réelle[modifier | modifier le code]

  • Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
    En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive[1].
  • Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :
    En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique)[1].

Décomposition polaire d'une matrice complexe[modifier | modifier le code]

  • Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
    En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive[2],[3].
  • Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :
    En particulier, toute matrice complexe se décompose en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne positive (mais pas nécessairement de façon unique)[2].

Remarque. Pour n = 1, on retrouve l'écriture d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Application[modifier | modifier le code]

L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est convexe donc contractile. Il en résulte que a le même type d'homotopie que et que a le même type d'homotopie que .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Cette propriété est démontrée par exemple dans le devoir corrigé « Décomposition polaire d'une matrice réelle » sur Wikiversité.
  2. a et b Cette propriété est démontrée par exemple dans le devoir corrigé « Décomposition polaire d'une matrice complexe » sur Wikiversité.
  3. Voir aussi cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  • Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions] p. 18-20
  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions] p. 48 et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »