Catégorie des ensembles pré-ordonnés

En mathématiques, la catégorie $\mathbf {Ord}$ a les ensembles pré-ordonnés comme objets et les fonctions préservant l'ordre (c'est-à-dire les fonctions croissantes) comme morphismes. Il s'agit d'une catégorie pour la composition usuelle, car la composée de deux fonctions croissantes est elle-même croissante, et l'identité est croissante elle-même.

Les monomorphismes dans $\mathbf {Ord}$ sont les fonctions injectives croissantes.

L'ensemble vide (qui est bien un ensemble pré-ordonné) est l'objet initial de $\mathbf {Ord}$, et ses objets finaux sont précisément les singletons pré-ordonnés. Il n'y a donc pas d'objets nuls dans $\mathbf {Ord}$.

Le produit dans $\mathbf {Ord}$ est donné par l'ordre produit défini sur le produit cartésien.

Il existe un foncteur d'oubli $\mathbf {Ord} \to \mathbf {Set}$ ($\mathbf {Set}$ étant la catégorie des ensembles) qui attribue à chaque ensemble pré-ordonné l'ensemble sous-jacent, et à chaque fonction croissante la fonction sous-jacente. Ce foncteur est fidèle, ce qui fait d'$\mathbf {Ord}$ une catégorie concrète. Ce foncteur a un adjoint gauche (envoyant chaque ensemble à lui-même muni de la relation d'égalité) et un adjoint droit (envoyant chaque ensemble lui-même équipé de la relation totale).

Structure de 2-catégorie

L'ensemble des morphismes (fonctions croissantes) entre deux ensembles pré-ordonnés peut en réalité être lui-même muni d'un pré-ordre. Ainsi, si on considère $A,B\in Ob(\mathbf {Ord} )$ et $\preccurlyeq$ le pré-ordre sur $B$, on définit un pré-ordre sur $Hom(A,B)$ (qu'on continuera à noter $\preccurlyeq$ du fait de l'absence d'ambigüité) par :

$\forall f,g\in Hom(A,B),(f\preccurlyeq g\Longleftrightarrow (\forall x\in A,f(x)\preccurlyeq g(x)))$

Cet ensemble pré-ordonné peut à son tour être considéré comme une catégorie, ce qui fait d'$\mathbf {Ord}$ une 2-catégorie (les axiomes supplémentaires d'une 2-catégorie sont trivialement valables car toute équation de morphismes parallèles est vraie dans une catégorie posetale).

Avec cette structure, un pseudo-foncteur $F$ d'une catégorie $C$ vers $\mathbf {Ord}$ est donné par les mêmes données qu'un 2-foncteur, mais est affaibli dans le sens suivant :

Considérant $A,B\in Ob(\mathbf {Ord} ),f,g\in Hom(A,B)$ :

$\forall x\in F(A),F(Id_{A})(x)\approx x$

et

$\forall x\in F(A),F(g\circ f)(x)\approx F(g)(F(f)(x))$

où $x\approx y$ signifie $x\preccurlyeq y$ et $y\preccurlyeq x$, $\preccurlyeq$ étant le pré-ordre de $A$ ou de $B$ selon le cas.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Category of preordered sets » (voir la liste des auteurs).
• Ibrahim Assem, Introduction au langage catégorique, Calvage & Mounet, coll. « Mathématiques en devenir », 2022 (ISBN 978-2-916352-97-8)

Voir aussi

• FinOrd
• Catégorie simpliciale