Produit cartésien

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Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes.

En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé ensemble-produit, est l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de produit cartésien fini, qui est un ensemble de n-uplets dont les composantes appartiennent à n ensembles. La généralisation à un produit cartésien infini nécessite, quant à elle, la notion de fonction.

Les produits cartésiens doivent leur nom à René Descartes, qui, en créant la géométrie analytique, a le premier utilisé ce que nous appelons maintenant ℝ2 = ℝ × ℝ pour représenter le plan euclidien, et ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ pour représenter l'espace euclidien tri-dimensionnel (ℝ désigne la droite réelle).

Produit cartésien de deux ensembles[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble P dont les éléments sont tous les couples dont la première composante appartient à A et la seconde à B :
\forall A \text{, } \forall B \text{, } \exists P \text{: } \forall z \text{, } \bigl\{ z \in P \Leftrightarrow \bigl[ \exists x \text{, } \exists y \text{: } \bigl( ( x \in A ) \land ( y \in B ) \land ( z = ( x, y ) ) \bigr) \bigr] \bigr\}
Cet ensemble est noté A × B (lire « A croix B ») et est appelé produit cartésien de A par B.
  • Cas particulier : A × A est noté A2 et appelé carré cartésien de A :
     A^2 = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \}.

    A2 ne doit pas être confondu avec la diagonale ΔA de A :
     \Delta_A = \{ ( x, x ) |  x \in A  \}.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit A l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }. Soit B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle }. Alors le produit cartésien A × B de ces deux ensembles est un jeu classique de 52 cartes, c'est-à-dire l'ensemble :

{ (A, pique) ... (2, pique) , (A, cœur) ... (2, coeur) , (A, carreau) ... (2, carreau) , (A, trèfle) ... (2, trèfle) }.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le produit cartésien d'un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide, c'est-à-dire que pour tout ensemble A :
    \varnothing \times A = A \times \varnothing = \varnothing.
  • Si A et B ont des cardinaux finis, alors le cardinal de A × B est égal au produit des cardinaux de A et de B.
  • En règle générale, B × AA × B. Plus précisément, pour deux ensembles quelconques A et B :
    [A \times B \ne B \times A] \Leftrightarrow [( A \ne B ) \wedge ( A \ne \varnothing ) \wedge ( B \ne \varnothing )].
  • Un couple d'éléments distincts n'appartient jamais à la diagonale d'un ensemble.
  • Le produit cartésien de deux ensembles est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. Si on considère couples et produits cartésiens comme des notions primitives, on aura comme axiome cette propriété d'existence et d'unicité. Elle se démontre, en théorie des ensembles ZFC, pour la représentation des couples choisie.

Représentation en théorie des ensembles[modifier | modifier le code]

En théorie des ensembles, si on choisit, comme usuellement, la représentation des couples de Kuratowski, les couples dont la première composante est dans A et la seconde dans B sont des éléments de P[P(AB)] (où P(E) désigne l'ensemble des parties de E). L'existence de cet ensemble résulte de l'axiome de la réunion et de l'axiome de l'ensemble des parties.

On peut par conséquent définir le produit cartésien par compréhension. On aura alors besoin des couples et donc, en plus des axiomes précédents, de l'axiome de la paire et du schéma d'axiomes de compréhension :

 A \times B=\left \{(a,b)|(a\in A)\wedge(b\in B)\right\}=\left \{z\in P(P(A\cup B))|\exists a\in A\;\exists b\in B\ z=(a,b)\right\}

On peut aussi définir le produit cartésien en utilisant, au lieu de l'ensemble des parties, deux fois le schéma d'axiomes de remplacement[1] : une fois pour A × {b} et une autre fois pour :

A \times B =\bigcup_{b \in B}  A\times \{b\}.

Représentation en théorie des catégories[modifier | modifier le code]

Dans la catégorie des ensembles, étant donnés deux objets S  et  T   il existe un objet P  et deux morphismes p_1 : P\to S et p_2 : P\to T tels que pour tout objet X et tous morphismes f_1 : X\to S et f_2 : X\to T il existe un unique morphisme  f: XP  tel que  f_1 = p_1 \circ f et f_2=p_2\circ f. L'objet P n'est autre que le produit cartésien S × T dont l'existence est discutée ci-dessus. Un couple est alors un élément de S × T ; si p_1(M) = s et p_2(M) = t, on note M=(s,t).

Dans une catégorie quelconque, un produit P n'existe pas toujours, mais, quand il existe, il est unique à un isomorphisme près. En particulier, toutes les structures ainsi obtenues sont isomorphes, ce qui permet de définir le produit cartésien S × T[2],[3].

Généralisation à plus de deux ensembles[modifier | modifier le code]

Triplets[modifier | modifier le code]

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

 \forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement :

 \forall a , \forall b ,  \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )

Produit cartésien de trois ensembles[modifier | modifier le code]

Il est défini par :

 A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}

D'après ce qui précède, A × B × C = (A × B) × C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A × A × A est appelé cube cartésien de A et il est noté A3 (lire « A au cube ») :

A^3=\{(x,y,z)|(x\in A)\wedge(y\in A)\wedge(z\in A)\}.

n-uplets[modifier | modifier le code]

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :

  • Propriété fondamentale d'un n-uplet :
 \forall \left( a_{1} , a_{2} , \cdots , a_{n}\right) , \forall \left(b_{1} , b_{2} , \cdots , b_{n}\right) , \quad [\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots, a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots, b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots \wedge ( a_{n} = b_{n} ) \,]
  • Définition d'un n-uplet :
 \forall \left( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n}\right) , \quad ( a_{1} , a_{2} , \cdots, a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots, a_{n-1} ) , a_{n} )
  • Produit cartésien de n ensembles :
 A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}
  • Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble :
 A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}

Produits infinis[modifier | modifier le code]

On peut généraliser la notion de produit cartésien à celle de produit d'une famille d'ensembles indexée par un ensemble quelconque, fini ou infini.

Bien que plus générale, cette notion peut difficilement être introduite en théorie des ensembles avant celle de produit cartésien binaire, du moins naturellement, car elle fait appel à la notion de fonction, qui utilise à son tour justement celle de couple, et donc de produit cartésien binaire[4].

Famille d'ensembles[modifier | modifier le code]

Article détaillé : famille (mathématiques).

Une famille A d'ensembles indexée par un ensemble I est une fonction définie sur I. L'image de i par A est notée Ai. Il s'agit juste d'une notation (adaptée à un certain usage) pour une construction connue. La famille A indexée par I sera plutôt notée (Ai)iI.

Produit cartésien d'une famille d'ensembles[modifier | modifier le code]

On peut maintenant définir le produit cartésien d'une famille d'ensembles (Ai)iI, que l'on note habituellement  \prod_{i \in I}\, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,, ou parfois  \begin{matrix} \, \\ \times \\ \,^{i \in I} \end{matrix} \, \begin{matrix} \, \\ A_i \end{matrix} \,.

Il s'agit de l'ensemble des fonctions f de I dans la réunion de la famille, telles que pour tout i dans I, f(i) appartienne à Ai :

 \prod_{i \in I} A_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \ |\ \forall\ i , \, f(i) \in A_i \} \,
  • Pour utiliser cette définition, il faut pouvoir extraire d'un élément du produit sa composante d'indice j, élément de I. Pour cela, on définit pour tout j dans I, la fonction appelée j-ème projection,
    \pi_j:\prod_{i\in I}A_i\to A_j,\quad f\mapsto f(j).
  • On peut définir plus généralement, pour toute partie J de I, la « projection d'indice J », à valeurs dans le « produit partiel » indexé par J[5] :
    \pi_J:\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{i\in J}A_i,\quad f\mapsto(f(i))_{i\in J}.
    (Si J est un singleton { j }, le produit partiel indexé par J est en bijection canonique avec Aj[5].)
  • On peut énoncer l'axiome du choix ainsi : le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.

Lien avec le produit de deux ensembles[modifier | modifier le code]

Soient A et B deux ensembles. Pour toute paire I = {α, β} (par exemple α = et β = {∅}), on a une bijection canonique entre le produit A×B des deux ensembles et le produit de la famille (Ai)iI définie par Aα = A et Aβ = B, en associant à tout couple (x, y) de A×B l'élément f défini par f(α) = x et f(β) = y[5].

Associativité[modifier | modifier le code]

Soient (Ai)iI une famille d'ensembles et (Jk)kK une partition de I[6]. L'application canonique

\prod_{i\in I}A_i\to\prod_{k\in K}(\prod_{i\in J_k}A_i),\quad f\mapsto(\pi_{J_k}(f))_{k\in K}

est bijective[7].

Par récurrence, le produit de n ensembles s'identifie ainsi au produit d'une famille indexée par {1, 2, … , n}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Harvey Friedman.
  2. Baez, quantum, node 4
  3. (en) Colin McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, Clarendon Press, Oxford, 1995
  4. Une fonction de A dans B est souvent introduite comme un triplet (A, B, C), où C est un sous-ensemble du produit cartésien A × B, appelé graphe de la fonction et tel que tout élément de A figure (en première composante) dans exactement un couple de C. En pratique toutefois, s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, on peut par abus de langage assimiler la fonction à son graphe C. D'ailleurs, en théorie des ensembles, on définit souvent une fonction directement comme un ensemble de couples. Cette pratique est cohérente — être une fonction de A dans B devient alors une propriété de la fonction — mais elle est déconseillée dans les cours d'introduction aux mathématiques.
  5. a, b et c N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. II.33.
  6. Ou même seulement un recouvrement de I par des sous-ensembles disjoints mais pas nécessairement non vides : voir Produit vide.
  7. Bourbaki, p. II.35.

Articles connexes[modifier | modifier le code]