Gnomon (géométrie)

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En géométrie, un gnomon (du grec ancien γνώμων[1]), est une figure plane formée en enlevant un parallélogramme d'un coin d'un plus grand parallélogramme. Lorsque le parallélogramme est un rectangle, le gnomon est alors une sorte d'équerre. La notion se généralise à toute figure géométrique qui doit être ajoutée à une figure donnée, pour que la nouvelle figure soit semblable à la première[2].

Histoire[modifier | modifier le code]

Le gnomon sert aux pythagoriciens d'équerre arithmétique. "Le gnomon est la figure coudée à angles droits qui reste quand on détache d'un carré un carré plus petit. Si l'on considère une série de points rangés en carré, et si l'on détache d'abord un point 0 en le séparant du reste par la ligne coudée AB, puis trois points par la ligne CD, puis cinq points par la ligne EF, on obtient une série de gnomons impairs qui s'entourent successivement, depuis le premier impair qui est l'unité : il est évident que l'addition de ces gnomons produit une figure qui, tout en grandissant constamment, reste toujours la même comme figure, à savoir un carré... Ce sont ces propositions arithmétiques qui expliquent les caractères que les Pythagoriciens attribuaient au pair et à l'impair."[3]

Utilisations[modifier | modifier le code]

Résolution d'une équation de degré 2 à l'aide d'un gnomon.
Ce gnomon illustre l'équation x2 + 2(2x) = 96 : en ajoutant un carré de côté 2, on obtient un carré de côté 10, ce qui permet de justifier l'existence de la solution positive x = 8.

La figure de droite est un exemple de gnomon, utilisé en géométrie, pour résoudre une équation du second degré[4]. Un gnomon permet aussi d'établir des démonstrations géométriques des identités remarquables du second degré, ou encore de calculer la somme des n premiers nombres entiers ou des n premiers carrés.

Dans le cadre de l'étude des nombres figurés, le gnomon est une disposition de points dans un plan, représentant un nombre, et formant un modèle qui permet d'obtenir, par juxtaposition à la figure correspondant à un nombre figuré de la suite, la figure du nombre de rang suivant[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Un γνώμων / gnomon désigne chez Euclide un parallélogramme complémentaire d'un autre parallélogramme ou d'un triangle.
  2. Alain Galonnier, Boèce, ou La chaîne des savoirs : actes du Colloque international de la Fondation Singer-Polignac, présidée par Edouard Bonnefous, Paris, 8-12 juin 1999, Peeters Publishers, 2003, p. 343.
  3. Henri Carteron, in Aristote, Physique, t. I, Les Belles Lettres, 1966, p. 164. Voir Walter Burkert, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, 1972, p. 32-33 ; André Pichot, La naissance de la science (1991), Gallimard, coll. "Folio Essais", t. II, p. 136, 202 (le gnomon comme "équerre numérique").
  4. Voir détails dans « Algèbre géométrique ».
  5. Ce procédé est décrit dans l'article de Wikipédia en anglais sur les nombres figurés, dans lequel des nombres carrés sont construits à partir du gnomon d'un nombre impair.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Marcel Granet, La pensée chinoise (1934), Albin Michel, 1999.
  • André Pichot, La naissance de la science (1991), Gallimard, coll. "Folio Essais", t. II.
  • Michel Serres, Les origines de la géométrie, Flammarion, 1993, p. 261 sq.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]