Fonction nombre de diviseurs

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En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul n, en incluant parmi les diviseurs de n les nombres 1 et n. Elle est généralement notée d ou τ (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore σ0, comme cas particulier de fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre naturel n on définit :

.

Les premières valeurs sont les suivantes[1] :

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diviseurs de n 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
d(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • On a l'identité suivante : désigne la fonction partie entière [2],[3],[4] :
  • Si la décomposition en produit de facteurs premiers de n est
    ,
    alors[5] :
    .
  • La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si m et n sont premiers entre eux, alors :
    .
  • Un nombre n est premier si et seulement si d(n)=2.
  • Un nombre n est un carré parfait si et seulement si d(n) est impair.
  • est le double du nombre de diviseurs de n entre 1 et n, auquel il faut retrancher 1 si n est un carré parfait, donc un majorant de d(n) est 2n.
  • La série de Dirichlet de la fonction nombre de diviseurs est le carré de la fonction zêta de Riemann[6] :
    (pour )

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

Formule de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Représentation en bâtons de d(n) ; en rouge, de  ; en bleu, de Hn-1 et Hn ; et en vert, de ln n+2γ-1.

La fonction d est très irrégulière : elle prend la valeur 2 pour n premier, et prend aussi des valeurs arbitrairement grandes (par exemple N + 1 pour n = 2N) . Mais en moyenne de Cesàro : .

Ceci vient de la formule , dont on déduit : (Hn) est la série harmonique, puis l'encadrement :

.

Représentation en rouge de d(n) ; en bleu, de l'ordre moyen ln n + 2γ ; et en vert, de 2, correspondant aux nombres premiers.

Un développement plus précis est donné par [2],[7],[8],[4]

(où O est un symbole de Landau et γ la constante d'Euler-Mascheroni.)

Il a été démontré par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1849 [9].

On en déduit qu'un ordre moyen pour d(n) est ln n + 2γ.

Problème des diviseurs de Dirichlet[modifier | modifier le code]

La recherche des valeurs de telles que

constitue le « problème des diviseurs de Dirichlet (en) »[3].

Des avancées ont été effectuées par Gueorgui Voronoï (1903, O(x) remplacé par O(3x log(x))[10], Johannes van der Corput (1922, β = 33/100)[11], ainsi que Martin Huxley (de) (2003, β = 131/416)[12]. À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré[13] que β est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour β font toujours l'objet de recherches.

Application à la différence du nombre de diviseurs pairs et du nombre de diviseurs impairs[modifier | modifier le code]

Posons est le nombre de diviseurs pairs de n et celui des diviseurs impairs ; la suite est répertoriée comme suite A048272 de l'OEIS.

On a alors l'identité : qui, combinée avec la valeur de la série harmonique alternée ,

donne la converge au sens de Cesàro de vers .

La formule de Dirichlet permet d'obtenir plus précisément : .

Plus petit entier ayant un nombre prescrit de diviseurs[modifier | modifier le code]

Notons le plus petit n tel que  ; la suite est répertoriée comme suite A005179 de l'OEIS.

Le tableau suivant en donne les 36 premiers termes.

Nota 1 : Pour p,q premiers tels que , et .

Nota 2 : si n'a pas de successeur plus petit que lui, alors il est hautement composé.

Généralisation[modifier | modifier le code]

La fonction associe à tout naturel non nul la somme des puissances -ièmes de ses diviseurs :

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de cette fonction obtenu pour  :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Teileranzahlfunktion » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour plus de valeurs, voir la suite A000005 de l'OEIS.
  2. a et b Pierre Eymard et Jean-Pierre Lafon, Autour du nombre Pi, Hermann, p. 25-29
  3. a et b Olivier Bordellès, « Le problème des diviseurs de Dirichlet », Quadrature, no 71,‎ , p. 21-30 (lire en ligne).
  4. a et b Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Dunod, chap. 1.3 (« Sur les ordres moyens, en illustration du principe de l'hyperbole de Dirichlet »)
  5. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 4e éd., 1975, p. 239, Th. 273.
  6. Hardy Wright, p. 250, Th. 289.
  7. Hardy Wright, p. 264, Th. 320.
  8. G.H. Hardy et E.M. Wright (trad. François Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres, Vuibert Springer, , chap. XVIII, section 18.2, théorème 320, p. 339
  9. (de) P. G. L. Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abhandl. König. Preuss. Akad. Wiss.,‎ , p. 69-83 ou (de) P. G. L. Dirichlet, Werke, t. II, 49-66 p..
  10. G. Voronoï, « Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques », J. reine angew. Math., vol. 126,‎ , p. 241-282 (lire en ligne).
  11. (de) J. G. van der Corput, « Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem », Mathematische Annalen, vol. 87,‎ , p. 39-65. « —, Corrections », vol. 89, 1923, p. 160.
  12. (en) M. N. Huxley, « Exponential Sums and Lattice Points III », Proc. London Math. Soc., vol. 87, no 3,‎ , p. 591-609.
  13. (en) G. H. Hardy, « On Dirichlet’s divisor problem », Proc. Lond. Math. Soc. (2), vol. 15,‎ , p. 1-25. Cf. Hardy Wright, p. 272.
  14. Les deux premières colonnes sont extraites de la suite A005179 de l'OEIS. Pour premiers tels que , et .

Articles connexes[modifier | modifier le code]