Nombre polygonal centré

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En arithmétique géométrique, un nombre polygonal centré est un type de nombre figuré, qui peut être représenté par un polygone régulier ayant un point en son centre et tous ses autres points disposés autour de ce centre en couches polygonales successives avec un nombre constant de côtés. Chaque côté d'une couche polygonale contient un point de plus que chaque côté de la couche polygonale précédente. Ainsi, dans une figure représentant un nombre k-gonal centré, la première couche contient k points et à partir de la deuxième, chaque couche contient k points de plus que la précédente.

Relation de récurrence et formule explicite[modifier | modifier le code]

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième k-gone centré a un point central et n – 1 couches k-gonales régulières.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième k-gone centré comporte k(n – 1) points ; c'est le gnomon associé au (n – 1)-ième k-gone centré, et faisant passer au n-ième :

Ainsi, le n-ième k-gone centré comporte n points sur chaque rayon et sur chaque côté.

Pour tous entiers k ≥ 3 et n ≥ 1, le n-ième nombre k-gonal centré est donc égal à 1 plus la somme des n premiers termes de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison k, ou encore, 1 plus k fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire[1] :

Nombre à la fois k-gonal centré et k-gonal[modifier | modifier le code]

Pour tout entier k ≥ 3, le premier et le k-ième nombres k-gonaux centrés sont aussi k-gonaux :

Exemples :

Nombre polygonal centré premier[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre octogonal centré est le n-ième nombre carré impair. Il ne peut donc pas être premier.

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre ennéagonal centré est le nombre triangulaire d'indice 3n – 2 ≠ 2. Il ne peut donc pas non plus être premier.

Pour tout entier k différent de 8 et de 9 (et ≥ 3), le 2-ième nombre k-gonal centré, Ck, 2 = 1 + k, peut évidemment être premier. En outre, il existe des nombres k-gonaux centrés premiers de rang n ≥ 3 (contrairement aux nombres k-gonaux).

Exemples : en gras dans les listes suivantes.

Listes de nombres polygonaux centrés[modifier | modifier le code]

Nombres polygonaux centrés (nombres polygonaux centrés premiers : en gras)[pertinence contestée]
Nom, notation Ck,n Expression Les dix plus petits nombres Numéro(s) de suite(s) de l'OEIS
Nombres triangulaires centrés, C3,n 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136 OEISA005448 et OEISA125602
Nombres carrés centrés, C4,n 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 OEISA001844 et OEISA027862
Nombres pentagonaux centrés, C5,n 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226 OEISA005891 et OEISA145838
Nombres hexagonaux centrés, C6,n 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271 OEISA003215 et OEISA002407
Nombres heptagonaux centrés, C7,n 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316 OEISA069099 et OEISA144974
Nombres octogonaux centrés, C8,n 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361 OEISA016754
Nombres ennéagonaux centrés, C9,n 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406 OEISA060544
Nombres décagonaux centrés, C10,n 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451 OEISA062786 et OEISA090562
Nombres undécagonaux centrés, C11,n 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496 OEISA069125 et OEISA262344
Nombres dodécagonaux centrés = Nombres étoilés, C12,n 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541 OEISA003154[2] et OEISA083577

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered polygonal number » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Elena Deza et Michel Marie Deza, Figurate Numbers, World Scientific, (lire en ligne), p. 49.
  2. Intitulée « Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1. »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lazy caterer's sequence

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