Problème de Bâle

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En mathématiques, le problème de Bâle (connu parfois aussi sous le nom de problème de Mengoli) est renommé dans la théorie des nombres. Posé en premier par Pietro Mengoli en 1644, il est résolu par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1735, dont Bâle est la ville natale. Le problème résistait aux attaques des mathématiciens éminents de l'époque, aussi la solution d'Euler lui apporta une notoriété immédiate à l'âge de 28 ans. Il a considérablement généralisé le problème et ses idées furent reprises par le mathématicien allemand Bernhard Riemann dans son article de 1859, dans lequel il a défini la fonction ζ et a démontré ses propriétés de base.

Le problème demande la valeur exacte de la somme de la série convergente :

.

Celle-ci est approximativement égale à 1,644 934 066 848 226 43. À cause de la lente convergence de la série[note 1], une telle valeur approchée n'a pu être trouvée qu'en mettant en œuvre des méthodes d'accélération de convergence, ce qui a notamment été fait par Stirling[1] en 1730 et Euler[2] en 1731. Ce dernier a annoncé en 1735 la découverte de la somme exacte[3] :

.

Ses arguments d'alors se basent sur des manipulations injustifiées, et ce n'est que six ans plus tard qu'il produit une démonstration rigoureuse[4], ne faisant plus intervenir ses produits infinis.

Euler attaque le problème[modifier | modifier le code]

La déduction d'Euler de la valeur π2/6 utilise essentiellement des observations sur les polynômes, en présumant que ces mêmes propriétés sont toujours vraies pour les séries infinies. Le raisonnement original d'Euler requiert une justification, mais même sans justification, en obtenant la valeur correcte, il est capable de la vérifier numériquement par rapport aux sommes partielles de la série. La concordance qu'il observe lui inspire suffisamment confiance pour annoncer son résultat à la communauté mathématique.

Pour suivre l'argument d'Euler, rappelons le développement en série de Taylor de la fonction sinus au voisinage de 0 :

En supposant x non nul et en divisant par ce réel, nous avons

Maintenant, les racines de sin(x)/x (intersection avec l'axe des x) apparaissent précisément pour x = ±nπ, où n = 1, 2, 3…. Supposons audacieusement que nous puissions exprimer cette série infinie comme un produit de facteurs linéaires donnés par ses racines :

Si nous effectuons formellement ce produit et regroupons tous les termes x2, nous voyons que le coefficient de x2 dans sin(x)/x est

Mais, à partir du développement de la série infinie originale de sin(x)/x, le coefficient de x2 est

Ces deux coefficients doivent être égaux ; ainsi,

En multipliant les deux côtés de cette équation par –π2, nous obtenons la somme des inverses des carrés d'entiers positifs.

La fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Riemann ζ(s) est une des plus importantes fonctions de la théorie des nombres, à cause de sa relation avec la distribution des nombres premiers. La fonction est définie pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 1 par la formule suivante[note 2] :

En prenant s = 2, nous voyons que ζ(2) est égale à la somme des inverses des carrés d'entiers positifs :

On montre facilement, en majorant cette série à termes positifs par une série télescopique, qu'elle converge et que ζ(2) < 5/3 = 1,66…, mais la valeur exacte ζ(2) = π2/6 est demeurée longtemps inconnue, jusqu'à ce qu'Euler la calcule numériquement en 1735, (ré)inventant pour ce faire la formule connue à présent sous le nom de formule sommatoire d'Euler-Maclaurin, et constate son égalité (jusqu'à la vingtième décimale) avec π2/6, puis construise la démonstration. Il a démontré bien plus tard que ζ(2n) a une belle expression en nombres de Bernoulli pour tout entier n > 0.

Une démonstration[modifier | modifier le code]

L'argument suivant prouve l'identité ζ(2) = π2/6, où ζ est la fonction zêta de Riemann. C'est la démonstration la plus élémentaire disponible ; car la plupart des démonstrations utilisent des résultats de mathématiques avancées, telle que les séries de Fourier, l'analyse complexe[note 3] et le calcul à plusieurs variables ; celle qui suit ne requiert même pas le calcul à une variable (bien qu'une limite soit prise à la fin).

Cette démonstration remonte au Cours d'Analyse (en)[5] de Cauchy (1821). Elle apparaît en 1954 dans le livre d'Akiva (en) et Isaak Yaglom (en) Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii[6], puis dans le journal Eureka en 1982, attribuée à John Scholes, mais Scholes a déclaré qu'il a appris la démonstration de Peter Swinnerton-Dyer, et dans tous les cas il maintient que la démonstration est un « savoir commun de Cambridge à la fin des années 1960 ».

Rappels trigonométriques[modifier | modifier le code]

On utilise les propriétés suivantes sur les fonctions cotangente cot = cos/sin et cosécante csc = 1/sin, pour tout réel x ∈ ]0, π/2[ :

La démonstration[modifier | modifier le code]

L'idée principale derrière la démonstration est d'encadrer les sommes partielles

entre deux expressions, chacune tendant vers π2/6 quand m tend vers l'infini.

Soit m un entier positif. Appliquons l'identité

à chaque xr = rπ/2m + 1 ∈ ]0, π/2[ pour r ∈ {1, … , m} :

P est le polynôme

.

Puisque ce polynôme est de degré m et que , les m nombres cot2(xr) sont exactement les racines de P. On peut donc calculer leur somme en fonction des coefficients de P :

En substituant l'identité csc2(x) = 1 + cot2(x), on a

Maintenant, considérons l'encadrement cot2(x) < 1/x2 < csc2(x). En additionnant tous ces encadrements pour chaque nombre xr = rπ/2m + 1 et en utilisant les deux identités ci-dessus, on obtient

En les multipliant par [π/(2m + 1)]2, cela devient

Lorsque m tend vers l'infini, les parties gauche et droite tendent chacune vers π2/6 donc, par le théorème des gendarmes,

La démonstration d'Euler[modifier | modifier le code]

L'astuce d'Euler[7] consiste à évaluer d'une seconde façon l'intégrale

.

D'après la formule du binôme généralisée,

donc (par interversion série-intégrale)

.

Or

(par récurrence, à l'aide d'une intégration par parties).

À nouveau par interversion série-intégrale, Euler trouve ainsi la somme des inverses des carrés d'entiers impairs :

puis conclut en multipliant par une série géométrique :
.

Une démonstration par transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

Le calcul s'obtient très simplement avec l'aide des outils de l'analyse harmonique. Il suffit pour cela[8] d'appliquer l'égalité de Parseval à la transformée de Fourier de la fonction périodique, notée f, de période 2π et égale à l'identité sur [–π, π[.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Basel problem » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Pour obtenir 4 décimales exactes, il faut additionner plus de 15 000 termes de la somme.
  2. Il est possible en fait de définir ζ pour tout complexe différent de 1 par différentes méthodes de prolongement : voir Fonction zêta de Riemann, § Extension à ℂ-{1}.
  3. L'analyse complexe fournit par exemple un développement de π2/sin2x) qui, appliqué à x = 1/2, donne la somme des carrés des inverses des entiers naturels impairs : π2/8, dont Euler avait déduit ζ(2) = π2/6.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (la) Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, (1730), Prop.XI, exemple 1, p. 55-56 ; il obtient la relation , qui lui permet un calcul de la somme avec une bonne précision, mais ne reconnait pas la valeur exacte π2/6.
  2. Euler, Opera Omnia, Series 1, vol. 14, p. 39-41 (E20 : De summatione innumerabilium progressionum).
  3. Euler, Opera Omnia, Series 1, vol. 14, p. 73-86 (E41 : De summis serierum reciprocarum).
  4. L. Euler, « Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc. », Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord, vol. 2,‎ , p. 115-127 (lire en ligne) (E63, Opera Omnia, I.14, p. 177-186), écrit en 1741. Voir aussi sa lettre d'avril 1742 (OO396) à Clairaut.
  5. Note VIII.
  6. (en) Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, vol. 2, aperçu sur Google Livres, Problem 145a, p. 24 et 131.
  7. (en) Ed Sandifer, How Euler did it – Basel Problem with Integrals[PDF], mars 2004.
  8. Calcul de sur les mathematiques.net.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]