En mathématiques, un nombre polyédrique centré est un nombre figuré comptant comptant des points disposés dans un polyèdre par couches successives autour d'une droite centrale ou d'un centre.
Cas d'une pyramide : nombres pyramidaux centrés [ modifier | modifier le code ] Nombre hexagonal centré
P
C
6
,
3
=
3
3
=
27
{\displaystyle PC_{6,3}=3^{3}=27}
On dispose dans une pyramide à base
k
{\displaystyle k}
k -gonale centrée d'ordre
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
Le
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
P
C
k
,
n
{\displaystyle PC_{k,n}}
k
{\displaystyle k}
C
k
,
i
{\displaystyle C_{k,i}}
i
{\displaystyle i}
n
{\displaystyle n}
P
C
k
,
n
=
∑
i
=
1
n
C
k
,
i
=
∑
i
=
1
n
(
1
+
k
i
(
i
−
1
)
2
)
=
1
6
n
(
k
(
n
2
−
1
)
+
6
)
{\displaystyle PC_{k,n}=\sum _{i=1}^{n}C_{k,i}=\sum _{i=1}^{n}\left(1+k{\frac {i(i-1)}{2}}\right)={\frac {1}{6}}n(k(n^{2}-1)+6)}
[ 1]
Nombres pyramidaux triangulaires centrés :
P
C
3
,
n
=
1
2
n
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle PC_{3,n}={\frac {1}{2}}n(n^{2}+1)}
A006003 de l'OEIS : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505,... Nombres pyramidaux carrés centrés :
P
C
4
,
n
=
1
3
n
(
2
n
2
+
1
)
{\displaystyle PC_{4,n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)}
A005900 de l'OEIS : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670,..., égaux aux nombres octaédriques.
Nombres pyramidaux pentagonaux centrés :
P
C
5
,
n
=
1
6
n
(
5
n
2
+
1
)
{\displaystyle PC_{5,n}={\frac {1}{6}}n(5n^{2}+1)}
A004068 de l'OEIS :1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609,... Nombres pyramidaux hexagonaux centrés :
P
C
6
,
n
=
n
3
{\displaystyle PC_{6,n}=n^{3}}
nombres cubiques .
Nombres pyramidaux heptagonaux centrés :
P
C
7
,
n
=
1
6
n
(
7
n
2
−
1
)
{\displaystyle PC_{7,n}={\frac {1}{6}}n(7n^{2}-1)}
A004126 de l'OEIS :1, 9, 31, 74, 145, 251, 399, 596,...
Nombres pyramidaux octogonaux centrés :
P
C
8
,
n
=
1
6
n
(
2
n
−
1
)
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle PC_{8,n}={\frac {1}{6}}n(2n-1)(2n+1)}
A000447 de l'OEIS : 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455,... La pyramide ayant
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
2
k
{\displaystyle 2k}
n
{\displaystyle n}
k
(
P
3
,
n
−
3
(
n
−
1
)
)
+
P
k
,
n
−
k
(
n
−
1
)
{\displaystyle k(P_{3,n}-3(n-1))+P_{k,n}-k(n-1)}
2
k
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2k(n-1)}
k
+
1
{\displaystyle k+1}
P
k
,
n
=
n
(
(
k
−
2
)
n
−
(
k
−
4
)
)
2
{\displaystyle P_{k,n}={n~{\big (}(k-2)n-(k-4){\big )} \over 2}}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
On obtient
P
C
k
,
n
′
−
P
C
k
,
n
−
1
′
=
(
k
−
1
)
(
n
−
1
)
2
+
2
{\displaystyle PC'_{k,n}-PC'_{k,n-1}=(k-1)(n-1)^{2}+2}
P
C
k
,
n
′
=
1
+
∑
i
=
1
n
−
1
(
(
k
−
1
)
i
2
+
2
)
=
(
2
n
−
1
)
(
(
k
−
1
)
(
n
2
−
n
)
+
6
)
6
{\displaystyle PC'_{k,n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}((k-1)i^{2}+2)={\frac {(2n-1)((k-1)(n^{2}-n)+6)}{6}}}
[ 1]
k
=
3
{\displaystyle k=3}
nombres tétraédriques centrés :
P
C
3
,
n
′
=
T
C
n
=
1
3
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
3
)
{\displaystyle PC'_{3,n}=TC_{n}={\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)}
k
=
4
{\displaystyle k=4}
P
C
4
,
n
′
=
1
2
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
2
)
{\displaystyle PC'_{4,n}={\frac {1}{2}}(2n-1)(n^{2}-n+2)}
A063488 de l'OEIS : 1, 6, 20, 49, 99, 176, 286, 435, 629, 874,...
k
=
5
{\displaystyle k=5}
nombres octaédriques centrés :
P
C
5
,
n
′
=
O
C
n
=
1
2
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
2
)
{\displaystyle PC'_{5,n}=OC_{n}={\frac {1}{2}}(2n-1)(n^{2}-n+2)}
k
=
6
{\displaystyle k=6}
P
C
6
,
n
′
=
1
6
(
2
n
−
1
)
(
5
n
2
−
5
n
+
6
)
{\displaystyle PC'_{6,n}={\frac {1}{6}}(2n-1)(5n^{2}-5n+6)}
A063489 de l'OEIS : 1, 8, 30, 77, 159, 286, 468, 715, 1037, 1444,...
k
=
7
{\displaystyle k=7}
nombres cubiques centrés :
P
C
7
,
n
′
=
C
C
n
=
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
1
)
{\displaystyle PC'_{7,n}=CC_{n}=(2n-1)(n^{2}-n+1)}
k
=
8
{\displaystyle k=8}
P
C
8
,
n
′
=
1
6
(
2
n
−
1
)
(
7
n
2
−
7
n
+
6
)
{\displaystyle PC'_{8,n}={\frac {1}{6}}(2n-1)(7n^{2}-7n+6)}
A063490 de l'OEIS : 1, 10, 40, 105, 219, 396, 650, 995, 1445, 2014,...Cas d'un prisme : nombres prismatiques centrés [ modifier | modifier le code ] On dispose dans un prisme à base
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
k -gonales centrées d'ordre
n
{\displaystyle n}
Le
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
P
k
,
n
{\displaystyle P_{k,n}}
k
{\displaystyle k}
C
k
,
i
{\displaystyle C_{k,i}}
n
{\displaystyle n}
P
k
,
n
=
n
2
(
k
n
2
−
k
n
+
2
)
{\displaystyle P_{k,n}={\frac {n}{2}}(kn^{2}-kn+2)}
[ 1]
Nombres prismatiques triangulaires centrés :
P
3
,
n
=
n
2
(
3
n
2
−
3
n
+
2
)
{\displaystyle P_{3,n}={\frac {n}{2}}(3n^{2}-3n+2)}
A100175 de l'OEIS : 1, 8, 30, 76, 155,... Nombres prismatiques carrés centrés :
P
4
,
n
=
n
(
2
n
2
−
2
n
+
1
)
{\displaystyle P_{4,n}=n(2n^{2}-2n+1)}
A059722 de l'OEIS : 1, 10, 39, 100, 205, ....
Nombres prismatiques pentagonaux centrés :
P
5
,
n
=
n
2
(
5
n
2
−
5
n
+
2
)
{\displaystyle P_{5,n}={\frac {n}{2}}(5n^{2}-5n+2)}
nombres icosaédriques , suite A006564 de l'OEIS :1, 12, 48, 124, 255 ,... Nombres prismatiques hexagonaux centrés :
P
6
,
n
=
n
(
3
n
2
−
3
n
+
1
)
{\displaystyle P_{6,n}=n(3n^{2}-3n+1)}
nombres cubiques augmentés , suite A005915 de l'OEIS : 1, 14, 57, 148, 305, ....
Nombres prismatiques heptagonaux centrés :
P
7
,
n
=
n
2
(
7
n
2
−
7
n
+
2
)
{\displaystyle P_{7,n}={\frac {n}{2}}(7n^{2}-7n+2)}
A329530 de l'OEIS :1, 16, 66, 172, 355, ...
Nombres prismatiques octogonaux centrés :
P
8
,
n
=
n
(
2
n
−
1
)
2
{\displaystyle P_{8,n}=n(2n-1)^{2}}
A139757 de l'OEIS : 1, 18, 75, 196, 405, ... Nous suivons ici la référence[ 2]
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
n
{\displaystyle n}
Si
C
n
{\displaystyle C_{n}}
n
{\displaystyle n}
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
n
{\displaystyle n}
P
n
=
1
+
C
1
+
⋯
+
C
n
{\displaystyle P_{n}=1+C_{1}+\cdots +C_{n}}
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
P
0
=
1
{\displaystyle P_{0}=1}
[ 2]
On a
C
n
=
2
(
α
n
2
+
1
)
{\displaystyle C_{n}=2(\alpha n^{2}+1)}
α
=
1
4
(
F
3
+
2
F
4
+
5
F
5
+
6
F
6
+
14
F
8
)
{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4}}(F_{3}+2F_{4}+5F_{5}+6F_{6}+14F_{8})}
F
k
{\displaystyle F_{k}}
k -gonales du polyèdre, d'où
P
n
=
(
2
n
+
1
)
(
α
n
2
+
α
n
+
3
)
3
{\displaystyle P_{n}=(2n+1){(\alpha n^{2}+\alpha n+3) \over 3}}
[ 2]
Nombre polyédrique centré
Nombre de faces
C
n
{\displaystyle C_{n}}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
0
,
⋯
,
P
9
{\displaystyle P_{0},\cdots ,P_{9}}
Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré
F
3
=
4
{\displaystyle F_{3}=4}
2
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
n
2
+
n
+
3
)
3
{\displaystyle (2n+1){(n^{2}+n+3) \over 3}}
1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589
suite A005894 de l'OEIS
Nombre cubique centré
F
4
=
6
{\displaystyle F_{4}=6}
2
(
3
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(3n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
n
2
+
n
+
1
)
=
n
3
+
(
n
+
1
)
3
{\displaystyle (2n+1)(n^{2}+n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}}
1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729
suite A005898 de l'OEIS
Nombre octaédrique centré
F
3
=
8
{\displaystyle F_{3}=8}
2
(
2
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(2n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
2
n
2
+
2
n
+
3
)
3
{\displaystyle (2n+1){(2n^{2}+2n+3) \over 3}}
1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159
suite A001845 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré
Nombre octaédrique tronqué centré
{
F
5
=
12
F
4
=
6
,
F
6
=
4
{\displaystyle {\begin{cases}F_{5}=12\\F_{4}=6,F_{6}=4\end{cases}}}
2
(
15
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(15n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
5
n
2
+
5
n
+
1
)
{\displaystyle (2n+1)(5n^{2}+5n+1)}
1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
suite A005904 de l'OEIS
Nombre icosaédrique centré
Nombre cuboctaédrique centré
{
F
3
=
20
F
3
=
8
,
F
4
=
6
{\displaystyle {\begin{cases}F_{3}=20\\F_{3}=8,F_{4}=6\end{cases}}}
2
(
5
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(5n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
5
n
2
+
5
n
+
3
)
3
{\displaystyle (2n+1){(5n^{2}+5n+3) \over 3}}
1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869
suite A005902 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique centré[ 3]
F
4
=
12
{\displaystyle F_{4}=12}
2
(
6
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(6n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
2
n
2
+
2
n
+
1
)
=
(
n
+
1
)
4
−
n
4
{\displaystyle (2n+1)(2n^{2}+2n+1)=(n+1)^{4}-n^{4}}
1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641
suite A005917 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique de l'Abbé Haüy [ 1]
construction exotique
8
(
6
n
2
−
3
n
+
1
)
{\displaystyle 8(6n^{2}-3n+1)}
(
2
n
+
1
)
(
8
n
2
+
2
n
+
1
)
{\displaystyle (2n+1)(8n^{2}+2n+1)}
1, 33, 185, 553, 1233, 2321, 3913, 6105
suite A046142 de l'OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré
F
3
=
F
6
=
4
{\displaystyle F_{3}=F_{6}=4}
2
(
7
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(7n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
7
n
2
+
7
n
+
3
)
3
{\displaystyle (2n+1){(7n^{2}+7n+3) \over 3}}
1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975
suite A063494 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué centré
F
3
=
8
,
F
8
=
6
{\displaystyle F_{3}=8,F_{8}=6}
2
(
23
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(23n^{2}+1)}
(
2
n
+
1
)
(
23
n
2
+
23
n
+
3
)
3
{\displaystyle (2n+1){(23n^{2}+23n+3) \over 3}}
1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Cas du nombre polyédrique centré à faces non centrées [ modifier | modifier le code ] Nous suivons ici la référence[ 1]
n
{\displaystyle n}
Le polyèdre possède
F
k
{\displaystyle F_{k}}
k
{\displaystyle k}
S sommets et A arêtes, la couche polyédrique ajoutée à l'étape
n
+
1
{\displaystyle n+1}
∑
k
⩾
3
(
P
k
,
n
+
1
−
k
n
)
{\displaystyle \sum _{k\geqslant 3}(P_{k,{n+1}}-kn)}
P
k
,
n
+
1
{\displaystyle P_{k,n+1}}
nombre k -gonal avec
n
+
1
{\displaystyle n+1}
A
(
n
−
1
)
{\displaystyle A(n-1)}
S points situés aux sommets. On a donc
P
n
+
1
−
P
n
=
∑
k
⩾
3
F
k
(
(
n
+
1
)
(
(
k
−
2
)
(
n
+
1
)
−
(
k
−
4
)
)
2
−
k
n
)
+
A
(
n
−
1
)
+
S
{\displaystyle P_{n+1}-P_{n}=\sum _{k\geqslant 3}F_{k}\left({(n+1)~{\big (}(k-2)(n+1)-(k-4){\big )} \over 2}-kn\right)+A(n-1)+S}
P
n
+
1
−
P
n
=
n
−
1
2
∑
k
⩾
3
F
k
(
(
k
−
2
)
n
−
2
)
+
A
(
n
−
1
)
+
S
{\displaystyle P_{n+1}-P_{n}={\frac {n-1}{2}}\sum _{k\geqslant 3}F_{k}((k-2)n-2)+A(n-1)+S}
Partant de
P
1
=
1
{\displaystyle P_{1}=1}
P
n
=
1
+
∑
i
=
1
n
−
1
(
P
i
+
1
−
P
i
)
{\displaystyle P_{n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}(P_{i+1}-P_{i})}
Par exemple,
P
2
=
S
+
1
{\displaystyle P_{2}=S+1}
Pour un polyèdre régulier à S sommets (vérifiant
k
F
k
=
2
A
,
A
=
F
k
+
S
−
2
{\displaystyle kF_{k}=2A,A=F_{k}+S-2}
P
n
=
(
2
n
−
1
)
(
(
S
−
2
)
(
n
2
−
n
)
+
6
)
6
{\displaystyle P_{n}={\frac {(2n-1)((S-2)(n^{2}-n)+6)}{6}}}
Nombre polyédrique centré
faces, arêtes, sommets, degré d
P
n
+
1
−
P
n
{\displaystyle P_{n+1}-P_{n}}
P
n
{\displaystyle P_{n}}
P
1
,
⋯
,
P
10
{\displaystyle P_{1},\cdots ,P_{10}}
Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré
F
3
=
S
=
4
,
A
=
6
,
d
=
3
{\displaystyle F_{3}=S=4,A=6,d=3}
2
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(n^{2}+1)}
1
3
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
3
)
{\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)}
1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589
suite A005894 de l'OEIS
Nombre cubique centré
F
4
=
6
,
A
=
12
,
S
=
8
,
d
=
3
{\displaystyle F_{4}=6,A=12,S=8,d=3}
2
(
3
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(3n^{2}+1)}
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
1
)
=
n
3
+
(
n
−
1
)
3
{\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n-1)^{3}}
1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729
suite A005898 de l'OEIS
Nombre octaédrique centré
F
3
=
8
,
A
=
12
,
S
=
6
,
d
=
4
{\displaystyle F_{3}=8,A=12,S=6,d=4}
2
(
2
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(2n^{2}+1)}
1
3
(
2
n
−
1
)
(
2
n
2
−
2
n
+
3
)
{\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}
1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159
suite A001845 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré
F
5
=
12
,
A
=
30
,
S
=
20
,
d
=
3
{\displaystyle F_{5}=12,A=30,S=20,d=3}
2
(
9
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(9n^{2}+1)}
(
2
n
−
1
)
(
3
n
2
−
3
n
+
1
)
{\displaystyle (2n-1)(3n^{2}-3n+1)}
1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ...
suite A193218 de l'OEIS
Nombre icosaédrique centré
F
3
=
20
,
A
=
30
,
S
=
12
,
d
=
5
{\displaystyle F_{3}=20,A=30,S=12,d=5}
2
(
5
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(5n^{2}+1)}
1
3
(
2
n
−
1
)
(
5
n
2
−
5
n
+
3
)
{\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(5n^{2}-5n+3)}
1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869
suite A005902 de l'OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré
F
3
=
F
6
=
4
,
A
=
18
,
S
=
12
{\displaystyle F_{3}=F_{6}=4,A=18,S=12}
2
(
7
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(7n^{2}+1)}
1
3
(
2
n
−
1
)
(
7
n
2
−
7
n
+
3
)
{\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(7n^{2}-7n+3)}
1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975
suite A063494 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué centré
F
3
=
8
,
F
8
=
6
,
A
=
36
,
S
=
24
{\displaystyle F_{3}=8,F_{8}=6,A=36,S=24}
2
(
23
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(23n^{2}+1)}
1
3
(
2
n
−
1
)
(
23
n
2
−
23
n
+
3
)
{\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(23n^{2}-23n+3)}
1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Nombre octaédrique tronqué centré
F
4
=
6
,
F
6
=
8
,
A
=
36
,
S
=
24
{\displaystyle F_{4}=6,F_{6}=8,A=36,S=24}
2
(
15
n
2
+
1
)
{\displaystyle 2(15n^{2}+1)}
(
2
n
−
1
)
(
5
n
2
−
5
n
+
1
)
{\displaystyle (2n-1)(5n^{2}-5n+1)}
1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
suite A005904 de l'OEIS
Cas du nombre polyédrique centré à faces centrées [ modifier | modifier le code ] On remplace le nombre polygonal non centré par le nombre polygonal centré dans la formule ci-dessus.
Pour un polyèdre régulier ayant A arêtes, on obtient :
P
n
′
=
(
2
n
−
1
)
(
A
(
n
2
−
n
)
+
6
)
6
{\displaystyle P'_{n}={\frac {(2n-1)(A(n^{2}-n)+6)}{6}}}
Par exemple,
P
2
′
=
A
+
3
=
F
+
S
+
1
{\displaystyle P'_{2}=A+3=F+S+1}
Nombre polyédrique centré à faces centrées
Nombre d'arêtes
P
n
′
{\displaystyle P'_{n}}
P
1
′
,
⋯
,
P
10
′
{\displaystyle P'_{1},\cdots ,P'_{10}}
Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré à faces centrées
A
=
6
{\displaystyle A=6}
(
2
n
−
1
)
(
n
2
−
n
+
1
)
=
n
3
+
(
n
+
1
)
3
{\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}}
1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729
suite A005898 de l'OEIS
Nombre cubique centré à faces centrées
Nombre octaédrique centré à faces centrées
A
=
12
{\displaystyle A=12}
(
2
n
−
1
)
(
2
n
2
−
2
n
+
1
)
=
n
4
−
(
n
−
1
)
4
{\displaystyle (2n-1)(2n^{2}-2n+1)=n^{4}-(n-1)^{4}}
1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439
suite A005917 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré à faces centrées
Nombre icosaédrique centré à faces centrées
A
=
30
{\displaystyle A=30}
(
2
n
−
1
)
(
5
n
2
−
5
n
+
1
)
{\displaystyle (2n-1)(5n^{2}-5n+1)}
1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569
suite A005904 de l'OEIS
↑ a b c d et e (en) Elena Deza et Michel Deza , Figurate Numbers , Singapour, World Scientific Publishing , 2012 , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3 lire en ligne ) , p. 120-138, 144-145, 125 pour Haüy↑ a b et c (en) Boon K. Teo, N. J. A. Sloane, « Magic Numbers in Polygonal and Polyhedral Clusters », Inorg. Chem. vol. 24, 1985 , p. 4545-4558 (lire en ligne ) ↑ John H. Conway, Richard K.Guy, Le livre des nombres , Eyrolles, 1998 , p. 53-55
Bidimensionnel
Tridimensionnel
Quadridimensionnel
