Nombre étoilé

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Le 5e nombre étoilé vaut 121, comme somme de 61 (le 5e nombre hexagonal centré) et de 60 (six fois le 4e nombre triangulaire).

En mathématiques, un nombre étoilé est un nombre figuré centré qui représente un hexagramme centré, comme le plateau des dames chinoises.

Le n-ième nombre étoilé Sn s'exprime simplement en fonction du (n – 1)-ième nombre triangulaire tn–1 = n(n – 1)/2 : Sn est la somme du n-ième nombre hexagonal centré, qui vaut 1 + 6tn–1, et de 6 fois tn–1. Il est donc égal au n-ième nombre dodécagonal centré :

Les 25 premiers nombres étoilés sont 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1 093, 1 261, 1 441, 1 633, 1 837, 2 053, 2 281, 2 521, 2 773, 3 037, 3 313 et 3 601 (suite A003154 de l'OEIS). Cette suite d'entiers est de période 25 modulo 100 et de période 3 modulo 9.

Il existe une infinité d'indices n pour lesquels le n-ième nombre étoilé est triangulaire (suite A003154 de l'OEIS) et une infinité pour lesquels il est carré (suite A054318 de l'OEIS). Dans les deux cas, ce sont les solutions d'une équation diophantienne. Les trois premiers nombres étoilés triangulaires sont S1 = 1 = t1, S7 = 253 = t22 et S91 = 49 141 = t313 et les trois premiers nombres étoilés carrés sont S1 = 12, S5 = 121 = 112 et S45 = 11 881 = 1092.

Les dix plus petits nombres étoilés premiers sont 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937 et 1 093 (suite A083577 de l'OEIS).


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