Système duodécimal

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Comptage duodécimal avec les phalanges.

Le système duodécimal ou base douze est un système de numération utilisé depuis l'Égypte antique.

Description[modifier | modifier le code]

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, suivis les lettres A et B, respectivement pour 10 et 11. On utilise parfois aussi à la place de ces dernières, respectivement, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), ou bien T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), ou encore X (chiffre romain) pour dix et Y (suit la lettre X) pour onze.

Alors que le décompte de certaines quantités comme les œufs par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base 12 n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions[réf. nécessaire].

Historique[modifier | modifier le code]

Historiquement, le nombre douze a été utilisé par de nombreux peuples. En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze :

  • duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
  • duodecas : douzaine ;
  • duodecennium : période de douze ans ;
  • duodecemvir : collège de douze magistrats ;
  • etc.

On peut également constater l'existence en français du mot 'grosse'[3] qui, entre autres acceptions, peut signifier : douze douzaines.

Des exemples de cet usage sont les 12 mois de l'année, les 12 heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[4]), les 12 divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse, etc.). Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour compter les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze base de cette numération[5].

L'avantage de divisions qui tombent juste explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (12 pouces dans un pied, 12 pence dans un shilling, 12 deniers dans un sou, 12 pièces dans une douzaine, 12 douzaines dans une grosse, 12 grosses dans une grande grosse, etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling en 1971.

Autre système de numération, duodécimal est similaire à sénaire, les deux sont divisibles par trois. Douze est quatre fois trois, six est deux fois trois. Dans une autre vue, duodécimal est similaire à vicésimal, les deux bases sont quatre fois un nombre impair. Douze est quatre fois trois, vingt est quatre fois cinq.

Duodécimal Equivalent en sénaire Equivalent en décimal Equivalent en vicésimal
10 : douze (ou une douzaine) 20 12 C
100 : une grosse 202 = 400 122 = 144 C2 = 74
1 000 : une grande grosse 203 = 12 000 123 = 1 728 C3 = 468
10 000 : douze grandes grosses 204 = 240 000 124 = 20 736 C4 = 2 BGG
100 000 205 = 5 200 000 125 = 248 832 C5 = 1B 21C
1 000 000 206 = 144 000 000 126 = 2 985 984 C6 = ID 4J4
0,1 0,03 1/12 1/C
0,01 0,0013 1/144 1/74
0,001 0,000043 1/1728 1/468

Fractions[modifier | modifier le code]

Certaines fractions s'expriment de manière très simple dans le système duodécimal, par exemple :

1 / 2 = 0,6
1 / 3 = 0,4
1 / 4 = 0,3
1 / 6 = 0,2
1 / 8 = 0,16
1 / 9 = 0,14

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)
1 / 7 = 0,186A35 186A35 avec chiffres périodiques
1 / A = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)
1 / B = 0,1 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Ainsi, en base dix (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

,
,

et

=

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme 0,125, 0,05, et 0,005 respectivement. Cependant,

et

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

Dans le système duodécimal (= 2×2×3) :

1 / 8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;
1 / 20 et 1 / 500 nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;
1 / 3 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;
1 / 7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en base 10.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé. Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les 12 mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs.

Plaidoyer du dozénalisme[modifier | modifier le code]

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base 12 est meilleur que le système décimal tant d'un point de vue mathématique que pour d'autres côtés pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de 12, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[6] ont également été proposés.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
  2. Dictionnaire Gaffiot, p. 569
  3. Grosse sur le wiktionnaire
  4. Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, , p. 16.
  5. Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, , p. 67
  6. dozenalsociety