Système duodécimal

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Comptage en duodécimal avec les phalanges.

Le système duodécimal, dozénal ou base douze est un système de numération qui utilise douze comme base. Autrement dit, dans ce système, on compte en douzaines. Le nombre douze est donc écrit 10, représentant une douzaine et aucune unité, alors qu'en base dix, douze s'écrit 12 (pour une dizaine et deux unités). Écrire 12 dans un système duodécimal revient donc à écrire une douzaine et deux unités, soit 14 en base dix.

Ce système a quelques avantages par rapport au système décimal dominant fonctionnant en base dix, dans la mesure où il permet de diviser par 2, 3, 4, et 6 et d'obtenir un résultat avec un nombre fini de chiffres après la virgule (au lieu de seulement 2 et 5 en décimal).

Le nombre douze est le plus petit nombre avec quatre facteurs non triviaux (2, 3, 4, 6), ce qui fait qu'il est plus agréable et facile à utiliser pour des calculs comme les multiplications ou les divisions.

Description[modifier | modifier le code]

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, et deux symboles variables pour représenter dix et onze. Il existe de nombreuses situations où A représente dix et B onze, mais d'autres symboles sont aussi employés.

À part A et B, on utilise souvent X (dix en chiffre romains) et E (pour eleven, onze en anglais), les chiffres (deux culbuté) et (trois culbuté) proposés par la Dozenal Society of America (DSA), les lettres α (lettre grecque alpha minuscule) et β (lettre grecque bêta minuscule), les lettres T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven) ou les lettres X (chiffre romain dix) et Y (qui suit la lettre X).

Alors que le décompte de certaines quantités comme les heures, les œufs ou les huîtres par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base douze n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

Histoire[modifier | modifier le code]

Métrologie[modifier | modifier le code]

"Douze" est un nombre qui a été utilisé dans divers aspects historiquement.

En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze. Cependant, le latin nomme le nombre "quatre fois trois"[Quoi ?] comme "dix plus deux" plutôt que "nombre indépendant", et le traite comme un "accessoire de dix".

  • duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
  • duodecas : douzaine ;
  • duodecennium : période de douze ans ;
  • duodecemvir : collège de douze magistrats ;
  • etc.

Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[3]), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze signes du zodiaque de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse [4] pour douze douzaines ou 122).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze pence dans un shilling, douze deniers dans un sou, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.).

Durant la révolution française, quand il a été question d'unifier les systèmes des poids et mesures, l'Assemblée Nationale a demandé à l'Académie des sciences de présenter un rapport sur cette réforme. Les académiciens Jean-Charles de Borda, Antoine Lavoisier, Mathieu Tillet et Nicolas de Condorcet, dans leur rapport de 1790, ont envisagé un temps de prendre le système duodécimal comme système arithmétique, avant d'y renoncer devant la difficulté de son acceptabilité[6], [7].

À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971.

Numération orale[modifier | modifier le code]

On ne trouve pas trace de système d'énonciation des nombres qui soit complètement duodécimal. Cependant on trouve quelques indices de douze nombres de base et, dans quelques peuples, très localisés, une utilisation occasionnelle du système duodécimal.

Les langues germaniques ont douze nombres de base[réf. nécessaire]. Contrairement aux langues romanes ou slaves où les mots pour onze et douze signifient en fait respectivement « dix et un » et « dix et deux » (« undici », « dodici » en italien, suivis par « tredici » ; « odinnadsať », « dvenadsať » en russe, suivis par « trinadsať »), on dit « eleven », « twelve » en anglais, « elf », « twaalf » en néerlandais, selon un modèle différent de la série de nombres suivants (« thirteen, fourteen, fifteen… » en anglais, qui signifient tous « dix et trois, dix et quatre, dix et cinq… »).

H. F. Mathews, en 1917, communique sur des tribus du peuple Nungu, dans la province de Nassawara au nord du Niger et signale la construction de 13 , 14, 15 etc. et 24, 36, etc. à l'aide 12 (oso) et 1 (iri), 2 (aha ), 3 (acha) etc. selon le principe suivant[8]:

  • 13 = oso shi iri, 14 = oso shi aha, etc.
  • 24 = oso aha, 36 = oso acha, etc.

De même, Ross C. Caughley en 1972, étudiant le peuple sino-tibétain Chepang, signale l'utilisation occasionnelle de décompte en base duodécimale[9] que Martine Mazaudon, en 2008, analyse comme suit[10]

  • 15 = yat hale sum.jyo? (un douze + trois)
  • 29 = nis hale ponja.jyo? (deux douze + cinq)
  • 60 = ponja hale (cinq douze).

Arithmétique[modifier | modifier le code]

Peu de temps après la généralisation du système décimal positionnel en Europe, les mathématiciens commencent à s'intéresser aux systèmes de numération non décimaux.

Dans ses Récréations mathématiques[11], Édouard Lucas mentionne Simon Stevin comme ayant imaginé dès le début du XVIIe siècle un système de numération duodécimal avant de devenir un farouche promoteur du système décimal dans son ouvrage La Dîme. Cependant, selon Anton Glaser[12], il n'y aurait pas de telle mention dans les œuvres mathématiques de Stevin[13].

Une des premières traces de la possibilité de traiter l'arithmétique dans d'autres bases que la base décimale[14] se trouve dans un article de 1654 de Blaise Pascal sur un critère de divisibilité, De numeris multiplicibus. Après avoir exposé son critère en base dix, il explique que celui-ci est plus général et peut s'appliquer à d'autre bases[15] comme la base douze, exemple à l'appui. À cette occasion, il expose le principe de la base duodécimale, indiquant la nécessité de deux symboles pour les chiffres dix et onze[16].

En 1670, dans son ouvrage Mathesis biceps, Juan Caramuel y Lobkowitz consacre tout un chapitre aux numérations non décimales, se concentrant principalement sur la base 2 mais évoquant également les bases trois, quatre, cinq, sept, huit, neuf, dix, onze, douze et soixante[17]. Mais c'est un certain Joshua Jordaine qui, en 1687, dans son Duodecimal arithmetick, va pousser le plus loin l'exploitation d'une écriture fractionnaire duodécimale et en faire la promotion la jugeant plus adaptée aux systèmes métrologiques en vigueur[18]. Il conserve la notation décimale pour la partie entière et utilise la notation duodécimale pour la partie fractionnaire[19] sans pour autant inventer de symboles particuliers pour dix et onze, se contentant d'isoler les chiffres par des séparateurs[20]. Il présente les opérations classiques (4 opérations, technique de conversion de base décimale en base duodécimale[21], extraction de la racine carrée et cubique, etc.) et expose son utilisation possible dans les systèmes métrologiques existants.

À partir du XVIIIe siècle, on trouve de nombreux exemples sur le système duodécimal dès que les ouvrages traitent d'écriture en base a quelconque (Étienne Bézout[22], Peter Barlow[23], Isaac Pitman[24], John W. Nystrom[25], Herbert Spencer[26], etc.). Certains de ces auteurs le trouvent logiquement plus adapté que le système décimal.

Plaidoyer pour le dozénalisme[modifier | modifier le code]

Il existe deux organismes : la Dozenal Society of America (DSA) et la Dozenal Society of Great Britain (DSGB) qui font la promotion du système dozénal en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de douze, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[27] ont également été proposés.

Notation[modifier | modifier le code]

Le système do-gro-mo[modifier | modifier le code]

Duodécimal Nom Décimal
0.001 emo (grande grossième) 0.000578703703... (12-3)
0.01 egro (grossième) 0.0069444... (12-2)
0.1 edo (douzième) 0.08333... (12-1)
1 un (unité) 1 (120)
10 do (douzaine) 12 (121)
100 gro (grosse) 144 (122)
1,000 mo (grande grosse) 1,728 (123)
10,000 do-mo 20,736 (124)
100,000 gro-mo 248,832 (125)
1,000,000 bi-mo 2,985,984 (126)
10,000,000 do-bi-mo 35,831,808 (127)
100,000,000 gro-bi-mo 429,981,696 (128)
1,000,000,000 tri-mo 5,159,780,352 (129)
10,000,000,000 do-tri-mo 61,917,364,224 (1210)
100,000,000,000 gro-tri-mo 743,008,370,688 (1211)
1,000,000,000,000 quad-mo 8,916,100,448,256 (1212)
10,000,000,000,000 do-quad-mo 106,993,205,379,072 (1213)
100,000,000,000,000 gro-quad-mo 1,283,918,464,548,864 (1214)
1,000,000,000,000,000 penta-mo 15,407,021,574,586,368 (1215)
10,000,000,000,000,000 do-penta-mo 184,884,258,895,036,416 (1216)
100,000,000,000,000,000 gro-penta-mo 2,218,611,106,740,436,992 (1217)
1,000,000,000,000,000,000 hexa-mo 26,623,333,280,885,243,904 (1218)
10,000,000,000,000,000,000 do-hexa-mo 319,479,999,370,622,926,848 (1219)
100,000,000,000,000,000,000 gro-hexa-mo 3,833,759,992,447,475,122,176 (1220)
1,000,000,000,000,000,000,000 hepta-mo 46,005,119,909,369,701,466,112 (1221)
10,000,000,000,000,000,000,000 do-hepta-mo 552,061,438,912,436,417,593,344 (1222)
100,000,000,000,000,000,000,000 gro-hepta-mo 6,624,737,266,949,237,011,120,128 (1223)
1,000,000,000,000,000,000,000,000 octa-mo 79,496,847,203,390,844,133,441,536 (1224)
10,000,000,000,000,000,000,000,000 do-octa-mo 953,962,166,440,690,129,601,298,432 (1225)
100,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-octa-mo 11,447,545,997,288,281,555,215,581,184 (1226)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ennea-mo 137,370,551,967,459,378,662,586,974,208 (1227)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-ennea-mo 1,648,446,623,609,512,543,951,043,690,496 (1228)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-ennea-mo 19,781,359,483,314,150,527,412,524,285,952 (1229)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 dek-mo 237,376,313,799,769,806,328,950,291,431,424 (1230)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-dek-mo 2,848,515,765,597,237,675,947,403,497,177,088 (1231)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-dek-mo 34,182,189,187,166,852,111,368,841,966,125,056 (1232)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 el-mo 410,186,270,246,002,225,336,426,103,593,500,672 (1233)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-el-mo 4,922,235,242,952,026,704,037,113,243,122,008,064 (1234)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-el-mo 59,066,822,915,424,320,448,445,358,917,464,096,768 (1235)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 dodeca-mo 708,801,874,985,091,845,381,344,307,009,569,161,216 (1236)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-dodeca-mo 8,505,622,499,821,102,144,576,131,684,114,829,934,592 (1237)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-dodeca-mo 102,067,469,997,853,225,734,913,580,209,377,959,215,104 (1238)
Exemples de notations[28]:
  • 1212 = 1410 (en effet, 1᛫121 + 2᛫120)
  • 2612 = 3010 (en effet, 2᛫121 + 6᛫120)
  • 3012 = 3610 = 1006 (en effet, 3᛫121 + 0᛫120)
  • 5012 = 6010 (en effet, 5᛫121 + 0᛫120)
  • 6912 = 8110 (en effet, 6᛫121 + 9᛫120)
  • 7612 = 9010 (en effet, 7᛫121 + 6᛫120)
  • 8512 = 10110 (en effet, 8᛫121 + 5᛫120)
  • 10012 = 14410 (en effet, 1᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 16012 = 21610 = 10006 (en effet, 1᛫122 + 6᛫121 + 0᛫120)
  • 1A612 = 27010 (en effet, 1᛫122 + 10᛫121 + 6᛫120)
  • 26512 = 36510 (en effet, 2᛫122 + 6᛫121 + 5᛫120)
  • 29412 = 40010 = 10020 (en effet, 2᛫122 + 9᛫121 + 4᛫120)
  • 40012 = 57610 (en effet, 4᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 57612 = 81010 (en effet, 5᛫122 + 7᛫121 + 6᛫120)
  • 6B412 = 100010 (en effet, 6᛫122 + 11᛫121 + 4᛫120)
  • 90012 = 129610 = 100006 (en effet, 9᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 100012 = 172810 (en effet, 1᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 11A812 = 200010 (en effet, 1᛫123 + 1᛫122 + 10᛫121 + 8᛫120)
  • 245412 = 409610 = 100016 (en effet, 2᛫123 + 4᛫122 + 5᛫121 + 4᛫120)
  • 396912 = 656110 = 100009 (en effet, 3᛫123 + 9᛫122 + 6᛫121 + 9᛫120)
  • 460012 = 777610 = 1000006 (en effet, 4᛫123 + 6᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 476812 = 800010 = 100020 (en effet, 4᛫123 + 7᛫122 + 6᛫121 + 8᛫120)
  • 500012 = 864010 (en effet, 5᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 789A12 = 1336610 (en effet, 7᛫123 + 8᛫122 + 9᛫121 + 10᛫120)
  • 1000012 = 2073610 (en effet, 1᛫124 + 0᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 2300012 = 4665610 = 10000006 (en effet, 2᛫124 + 3᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
Exemples d'opérations arithmétiques
Sénaire (Base 6) Décimal (Base 10) Duodécimal (Base 12) Vicésimal (Base 20)
140 + 50 = 230 60 + 30 = 90 50 + 26 = 76 30 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213 810 - 81 = 729 576 - 69 = 509 20A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 12552 2000 - 60 = 1940 11A8 - 50 = 1158 500 - 30 = 4H0
1130 ᛫ 52 = 104000 270 ᛫ 32 = 8640 1A6 ᛫ 28 = 5000 DA ᛫ 1C = 11C0
2400 / 13 = 144 576 / 9 = 64 400 / 9 = 54 18G / 9 = 34
3430 / 13 = 230 810 / 9 = 90 576 / 9 = 76 20A / 9 = 4A
220 = 30544 212 = 4096 210 = 2454 2C = A4G

Décomposition en facteurs de nombres premiers[modifier | modifier le code]

  • En sénaire : 10 = 2᛫3
  • En décimal : 10 = 2᛫5
  • En duodécimal : 10 = 4᛫3 = 22᛫3
  • En vicésimal : 10 = 4᛫5 = 22᛫5
Puissances de douze en notation duodécimale
Exposant Duodécimal Équivalent en sénaire Équivalent en décimal Équivalent en vicésimal
-3 0.001 0.000043 1/1728 (0.000578703703...) 1/468 (0.004CBH0EG5JA782K53E19CBH0EG5JA782K53E19...)
-2 0.01 0.0013 1/144 (0.006944...) 1/74 (0.02FB248HFB248H...)
-1 0.1 0.03 1/12 (0.0833...) 1/C (0.1D6D6...)
0 1 1 1 1
1 douze (ou une douzaine) : 10 20 12 C
2 une grosse : 100 202 = 400 122 = 144 C2 = 74
3 une grande grosse : 1,000 203 = 12,000 123 = 1,728 C3 = 468
4 douze grandes grosses : 10,000 204 = 240,000 124 = 20,736 C4 = 2,BGG
5 100,000 205 = 5,200,000 125 = 248,832 C5 = 1B,21C
6 1,000,000 2010 = 144,000,000 126 = 2,985,984 C6 = ID,4J4
7 10,000,000 2011 = 3,320,000,000 127 = 35,831,808 C7 = B3I,JA8
8 100,000,000 2012 = 110,400,000,000 128 = 429,981,696 C8 = 6 E77,E4G
9 1,000,000,000 2013 = 2,212,000,000,000 129 = 5,159,780,352 C9 = 40 C8C,AHC
A 10,000,000,000 2014 = 44,240,000,000,000 1210 = 61,917,364,224 CA = 287,93A,AB4
B 100,000,000,000 2015 = 1,325,200,000,000,000 1211 = 743,008,370,688 CB = 1,909,A26,6E8
10 1,000,000,000,000 2020 = 30,544,000,000,000,000 1212 = 8,916,100,448,256 CC = H,85E,17G,0CG

Fractions[modifier | modifier le code]

  • 1/2 = 0.6
  • 1/3 = 0.4
  • 1/4 = 0.3
  • 1/6 = 0.2
  • 1/8 = 0.16
  • 1/9 = 0.14
  • 1/10 = 0.1

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

  • 1/5 = 0.24972497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.25)
  • 1/7 = 0.186A35186A35 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.187)
  • 1/A = 0.124972497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.125)
  • 1/B = 0.11 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Autres fractions :
  • 2/3 = 0.8
  • 3/4 = 0.9
  • 2/5 = 0.49274927…
  • 3/5 = 0.72497249…
  • 4/5 = 0.97249724…
  • 5/6 = 0.A
  • 2/7 = 0.35186A35186A
  • 3/7 = 0.5186A35186A3
  • 4/7 = 0.6A35186A3518
  • 5/7 = 0.86A35186A351
  • 6/7 = 0.A35186A35186
  • 3/8 = 0.46
  • 5/8 = 0.76
  • 7/8 = 0.A6
  • 2/9 = 0.28
  • 4/9 = 0.54
  • 5/9 = 0.68
  • 7/9 = 0.94
  • 8/9 = 0.A8
  • 3/A = 0.372497249
  • 7/A = 0.849724972
  • 9/A = 0.A97249724
  • 2/B = 0.22
  • 3/B = 0.33
  • 4/B = 0.44
  • 5/B = 0.55
  • 6/B = 0.66
  • 7/B = 0.77
  • 8/B = 0.88
  • 9/B = 0.99
  • A/B = 0.AA
  • 5/10 = 0.5
  • 7/10 = 0.7
  • B/10 = 0.B

En base 12, les fractions ayant pour dénominateur 5 (sauf si le numérateur est un multiple de 5) sont similaires à celles ayant pour dénominateur 7 en base 10 : chaque résultat est un mélange de chiffres (en base 12 : 2, 4, 7 et 9 | en base 10 : 1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Exemple de calcul
  • Décimal - Division par trois
    • Décimal : 100/3 = 33.33…
    • Duodécimal : 84/3 = 29.4
  • Hexadécimal - Division par trois
    • Hexadécimal : 100/3 = 55.55…
    • Duodécimal : 194/3 = 71.4
  • Décimal - Division par neuf
    • Décimal : 100/9 = 11.11…
    • Duodécimal : 84/9 = B.14
  • Hexadécimal - Division par neuf
    • Hexadécimal : 100/9 = 1C.71C71C…
    • Duodécimal : 194/9 = 24.54
Fractions équivalentes en duodécimal et en sénaire
Fraction décimale Fraction duodécimale Fraction sénaire Écriture duodécimale Écriture sénaire
1/2 1/2 1/2 0.6 0.3
1/3 1/3 1/3 0.4 0.2
1/4 1/4 1/4 0.3 0.13
1/5 1/5 1/5 0.24972497… 0.1111…
1/6 1/6 1/10 0.2 0.1
1/7 1/7 1/11 0.186A35186A35… 0.0505…
1/8 1/8 1/12 0.16 0.043
1/9 1/9 1/13 0.14 0.04
1/10 1/A 1/14 0.124972497… 0.0333…
1/11 1/B 1/15 0.1111… 0.0313452421
1/12 1/10 1/20 0.1 0.03
1/16 1/14 1/24 0.09 0.0213
1/18 1/16 1/30 0.08 0.02
1/24 1/20 1/40 0.06 0.013
1/27 1/23 1/43 0.054 0.012
1/32 1/28 1/52 0.046 0.01043
1/36 1/30 1/100 0.04 0.01
1/48 1/40 1/120 0.03 0.0043
1/54 1/46 1/130 0.028 0.004
1/64 1/54 1/144 0.023 0.003213
1/72 1/60 1/200 0.02 0.003
1/81 1/69 1/213 0.0194 0.0024
1/96 1/80 1/240 0.016 0.00213
1/108 1/90 1/300 0.014 0.002
1/128 1/A8 1/332 0.0116 0.0014043
1/144 1/100 1/400 0.01 0.0013
1/162 1/116 1/430 0.00A8 0.0012
1/192 1/140 1/520 0.009 0.001043
1/216 1/160 1/1000 0.008 0.001
1/243 1/183 1/1043 0.00714 0.00052
1/256 1/194 1/1104 0.0069 0.00050213
1/288 1/200 1/1200 0.006 0.00043
1/324 1/230 1/1300 0.0054 0.0004
1/432 1/300 1/2000 0.004 0.0003
1/486 1/346 1/2130 0.00368 0.00024
1/512 1/368 1/2212 0.00346 0.000231043
1/576 1/400 1/2400 0.003 0.000213
1/648 1/460 1/3000 0.0028 0.0002
1/729 1/509 1/3213 0.002454 0.000144
1/864 1/600 1/4000 0.002 0.00013
1/972 1/690 1/4300 0.00194 0.00012
1/1152 1/800 1/5200 0.0016 0.0001043
1/1296 1/900 1/10000 0.0014 0.0001
1/1458 1/A16 1/10430 0.001228 0.000052
1/1728 1/1000 1/12000 0.001 0.000043
1/1944 1/1160 1/13000 0.000A8 0.00004
1/2187 1/1323 1/14043 0.0009594 0.0000332
1/4096 1/2454 1/30544 0.000509 0.000015220213
1/5832 1/3460 1/43000 0.000368 0.000012
1/6561 1/3969 1/50213 0.00031B14 0.00001104

Différence entre décimal et sénaire[modifier | modifier le code]

La différence entre le nombre duodécimal et le nombre "décimal ou sénaire" est que 10 comprend 2 à la 2e puissance. Des phénomènes similaires se produisent également en vicésimal et octodécimal.


En décimal (= 2 ᛫ 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 ont une représentation finie :

1/8 = 1/23

1/20 = 1/(22᛫5)

et

1/500 = 1/(22᛫53)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.125, 0.05 et 0.002 respectivement).

Cependant, 1/3 et 1/7 donnent les répétitions 0.33... et 0.142857142857...


En sénaire (= 2 ᛫ 3), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/12 = 1/(22᛫3)

1/20 = 1/(22᛫5)

et

1/300 = 1/(22᛫3᛫52)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.043, 0.03 et 0.002 respectivement).

Cependant,

et

donnent les répétitions 0.11... et 0.0505...


En duodécimal (= 2 ᛫ 2 ᛫ 3), comme en sénaire, les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 0.16.

1/18 (décimal : 1/20) et 1/358 (décimal : 1/500) nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule car leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1/3, 1/10 (sénaire : 1/20) et 1/90 (sénaire : 1/300) s'expriment exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.4, 0.1 et 0.014 respectivement).

1/7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en décimal et en sénaire.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif annuel (2/36, 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0.000332 en sénaire (332/1,000,000 → 332 = 211, en sénaire), mais 0.0048A8 en duodécimal (101,532/144,000,000 → 101,532 = 221 en sénaire = 211 en duodécimal).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
  2. Dictionnaire Gaffiot, p. 569.
  3. Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, , p. 16.
  4. Voir l'article « grosse » sur le Wiktionnaire.
  5. Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, , p. 67
  6. « Rapport fait à l'Académie des Sciences, par MM Borda, Lagrange, Lavoisier, Tillet et Condorcet le 27 octobre 1790 », dans Histoire de l'Académie Royale des sciences, vol. 91 (lire en ligne), p. 6
  7. Glaser 1981, p. 71-72.
  8. (en) H. F. Mattews, « Notes on the Nungu tribe, Nassawara Province, northern Nigeria, and the neighboring tribes which use the duodecimal system of numeration », Harvard African Studies, vol. 1,‎ , p. 83-94 (lire en ligne), pages 93 et 94
  9. (en) Ross Gaughley, « A Vocabulary of the Chepang Language Chepang -a Sino-Tibetan language with a duodecimal numeral base? », Prosodic Analysis and Asian Linguistics,‎ , p. 197-199
  10. Martine Mazaudon. Number building in Tibeto-Burman languages, 2008, halshs-00273445, p. 16
  11. Édouard Lucas, Récréations mathématiques, vol. 3, (lire en ligne), Quatre hommes et un caporal.
  12. Glaser 1981, p. 14.
  13. Œuvres accessibles sur le site Iris de la bibliothèque numérique en histoire des sciences de Lille.
  14. Commentaire des éditeurs sur l'article de Pascal.
  15. Il l'avait annoncé en remarque préliminaire : « cette méthode s'applique non seulement à notre système décimal de numération (système qui repose non sur une nécessité naturelle, comme le pense le vulgaire, mais sur une convention, d'ailleurs assez malheureuse) mais encore à tout système de numération ayant pour base tel nombre qu'on voudra. »
  16. Voir, dans le 3e volume de l'édition des Œuvres de Pascal par Léon Brunschvicg et Pierre Boutroux, les pages 337-339 de la version originale en latin et sa traduction en français de De Numeribus Multiplicibus, disponible sur Wikisource.
  17. Glaser 1981, p. 20.
  18. Glaser 1981, p. 170.
  19. Pour un exemple voir (en) Mr. Jordaine's Duodecimal Arithmetick, (lire en ligne), p. 4.
  20. Glaser 1981, p. 25.
  21. Glaser 1981, p. 27.
  22. Glaser 1981, p. 64-65.
  23. Glaser 1981, p. 80-82.
  24. Glaser 1981, p. 88.
  25. Glaser 1981, p. 88-89.
  26. Glaser 1981, p. 110.
  27. « Dozenal clock », sur Dozenal society.
  28. Notations malheureuses puisque dans « 1212 », les deux nombres notés 12 ont des sens différents ! Le premier vaut quatorze et le deuxième, douze.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Anton Glaser, History of Binary and Other Nondecimal Numeration, Thomash Publishers, (lire en ligne)

Liens[modifier | modifier le code]