Système dozénal

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Comptage en duodécimal avec les phalanges.

Le système dozénal, duodécimal ou base douze est un système de numération qui utilise douze comme base. Autrement dit, dans ce système, on compte en douzaines. Le nombre douze est donc écrit 10, représentant une douzaine et aucune unité, alors qu'en base dix, douze s'écrit 12 (pour une dizaine et deux unités). Écrire 12 dans un système duodécimal revient donc à écrire une douzaine et deux unités, soit 14 en base dix.

Ce système a quelques avantages par rapport au système décimal dominant fonctionnant en base dix, dans la mesure où il permet de diviser par 2, 3, 4, et 6 et d'obtenir un résultat avec un nombre fini de chiffres après la virgule (au lieu de seulement 2 et 5 en décimal).

Le nombre douze est le plus petit nombre avec quatre facteurs non triviaux (2, 3, 4, 6), ce qui fait qu'il est plus agréable et facile à utiliser pour des calculs comme les multiplications ou les divisions.

Description[modifier | modifier le code]

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, et deux symboles variables pour représenter dix et onze. Il existe de nombreuses situations où A représente dix et B onze, mais d'autres symboles sont aussi employés.

À part A et B, on utilise souvent X (dix en chiffre romains) et E (pour eleven, onze en anglais), les chiffres (deux culbuté) et (trois culbuté) proposés par la Dozenal Society of America (DSA), les lettres α (lettre grecque alpha minuscule) et β (lettre grecque bêta minuscule), les lettres T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven) ou les lettres X (chiffre romain dix) et Y (qui suit la lettre X).

Alors que le décompte de certaines quantités comme les heures, les œufs ou les huîtres par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base douze n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

Histoire[modifier | modifier le code]

"Douze" est le nombre qui devrait être appelé "deux six" ou "quatre fois trois", et a été utilisé dans divers aspects historiquement.

En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim[1]) unités[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze. Cependant, le latin nomme le nombre "quatre fois trois" comme "dix plus deux" plutôt que "nombre indépendant", et le traite comme un "accessoire de dix".

  • duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
  • duodecas : douzaine ;
  • duodecennium : période de douze ans ;
  • duodecemvir : collège de douze magistrats ;
  • etc.

Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique[3]), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze signes du zodiaque de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse[4] pour douze douzaines ou 122).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze pence dans un shilling, douze deniers dans un sou, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971.

Notation[modifier | modifier le code]

Le système do-gro-mo[modifier | modifier le code]

Duodécimal Nom Décimal
0.001 emo (grande grossième) 0.000578703703... (12-3)
0.01 egro (grossième) 0.0069444... (12-2)
0.1 edo (douzième) 0.08333... (12-1)
1 un (unité) 1 (120)
10 do (douzaine) 12 (121)
100 gro (grosse) 144 (122)
1,000 mo (grande grosse) 1,728 (123)
10,000 do-mo 20,736 (124)
100,000 gro-mo 248,832 (125)
1,000,000 bi-mo 2,985,984 (126)
10,000,000 do-bi-mo 35,831,808 (127)
100,000,000 gro-bi-mo 429,981,696 (128)
1,000,000,000 tri-mo 5,159,780,352 (129)
10,000,000,000 do-tri-mo 61,917,364,224 (1210)
100,000,000,000 gro-tri-mo 743,008,370,688 (1211)
1,000,000,000,000 quad-mo 8,916,100,448,256 (1212)
10,000,000,000,000 do-quad-mo 106,993,205,379,072 (1213)
100,000,000,000,000 gro-quad-mo 1,283,918,464,548,864 (1214)
1,000,000,000,000,000 penta-mo 15,407,021,574,586,368 (1215)
10,000,000,000,000,000 do-penta-mo 184,884,258,895,036,416 (1216)
100,000,000,000,000,000 gro-penta-mo 2,218,611,106,740,436,992 (1217)
1,000,000,000,000,000,000 hexa-mo 26,623,333,280,885,243,904 (1218)
10,000,000,000,000,000,000 do-hexa-mo 319,479,999,370,622,926,848 (1219)
100,000,000,000,000,000,000 gro-hexa-mo 3,833,759,992,447,475,122,176 (1220)
1,000,000,000,000,000,000,000 hepta-mo 46,005,119,909,369,701,466,112 (1221)
10,000,000,000,000,000,000,000 do-hepta-mo 552,061,438,912,436,417,593,344 (1222)
100,000,000,000,000,000,000,000 gro-hepta-mo 6,624,737,266,949,237,011,120,128 (1223)
1,000,000,000,000,000,000,000,000 octa-mo 79,496,847,203,390,844,133,441,536 (1224)
10,000,000,000,000,000,000,000,000 do-octa-mo 953,962,166,440,690,129,601,298,432 (1225)
100,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-octa-mo 11,447,545,997,288,281,555,215,581,184 (1226)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ennea-mo 137,370,551,967,459,378,662,586,974,208 (1227)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-ennea-mo 1,648,446,623,609,512,543,951,043,690,496 (1228)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-ennea-mo 19,781,359,483,314,150,527,412,524,285,952 (1229)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 dek-mo 237,376,313,799,769,806,328,950,291,431,424 (1230)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-dek-mo 2,848,515,765,597,237,675,947,403,497,177,088 (1231)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-dek-mo 34,182,189,187,166,852,111,368,841,966,125,056 (1232)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 el-mo 410,186,270,246,002,225,336,426,103,593,500,672 (1233)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-el-mo 4,922,235,242,952,026,704,037,113,243,122,008,064 (1234)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-el-mo 59,066,822,915,424,320,448,445,358,917,464,096,768 (1235)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 dodeca-mo 708,801,874,985,091,845,381,344,307,009,569,161,216 (1236)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 do-dodeca-mo 8,505,622,499,821,102,144,576,131,684,114,829,934,592 (1237)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gro-dodeca-mo 102,067,469,997,853,225,734,913,580,209,377,959,215,104 (1238)
Exemples de notations[6]:
  • 1212 = 1410 (en effet, 1᛫121 + 2᛫120)
  • 2612 = 3010 (en effet, 2᛫121 + 6᛫120)
  • 3012 = 3610 = 1006 (en effet, 3᛫121 + 0᛫120)
  • 5012 = 6010 (en effet, 5᛫121 + 0᛫120)
  • 6912 = 8110 (en effet, 6᛫121 + 9᛫120)
  • 7612 = 9010 (en effet, 7᛫121 + 6᛫120)
  • 8512 = 10110 (en effet, 8᛫121 + 5᛫120)
  • 10012 = 14410 (en effet, 1᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 16012 = 21610 = 10006 (en effet, 1᛫122 + 6᛫121 + 0᛫120)
  • 1A612 = 27010 (en effet, 1᛫122 + 10᛫121 + 6᛫120)
  • 26512 = 36510 (en effet, 2᛫122 + 6᛫121 + 5᛫120)
  • 29412 = 40010 = 10020 (en effet, 2᛫122 + 9᛫121 + 4᛫120)
  • 40012 = 57610 (en effet, 4᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 57612 = 81010 (en effet, 5᛫122 + 7᛫121 + 6᛫120)
  • 6B412 = 100010 (en effet, 6᛫122 + 11᛫121 + 4᛫120)
  • 90012 = 129610 = 100006 (en effet, 9᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 100012 = 172810 (en effet, 1᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 11A812 = 200010 (en effet, 1᛫123 + 1᛫122 + 10᛫121 + 8᛫120)
  • 245412 = 409610 = 100016 (en effet, 2᛫123 + 4᛫122 + 5᛫121 + 4᛫120)
  • 396912 = 656110 = 100009 (en effet, 3᛫123 + 9᛫122 + 6᛫121 + 9᛫120)
  • 460012 = 777610 = 1000006 (en effet, 4᛫123 + 6᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 476812 = 800010 = 100020 (en effet, 4᛫123 + 7᛫122 + 6᛫121 + 8᛫120)
  • 500012 = 864010 (en effet, 5᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 789A12 = 1336610 (en effet, 7᛫123 + 8᛫122 + 9᛫121 + 10᛫120)
  • 1000012 = 2073610 (en effet, 1᛫124 + 0᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
  • 2300012 = 4665610 = 10000006 (en effet, 2᛫124 + 3᛫123 + 0᛫122 + 0᛫121 + 0᛫120)
Exemples d'opérations arithmétiques
Sénaire (Base 6) Décimal (Base 10) Duodécimal (Base 12) Vicésimal (Base 20)
140 + 50 = 230 60 + 30 = 90 50 + 26 = 76 30 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213 810 - 81 = 729 576 - 69 = 509 20A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 12552 2000 - 60 = 1940 11A8 - 50 = 1158 500 - 30 = 4H0
1130 ᛫ 52 = 104000 270 ᛫ 32 = 8640 1A6 ᛫ 28 = 5000 DA ᛫ 1C = 11C0
2400 / 13 = 144 576 / 9 = 64 400 / 9 = 54 18G / 9 = 34
3430 / 13 = 230 810 / 9 = 90 576 / 9 = 76 20A / 9 = 4A
220 = 30544 212 = 4096 210 = 2454 2C = A4G

Décomposition en facteurs de nombres premiers[modifier | modifier le code]

  • En sénaire : 10 = 2᛫3
  • En décimal : 10 = 2᛫5
  • En duodécimal : 10 = 4᛫3 = 22᛫3
  • En vicésimal : 10 = 4᛫5 = 22᛫5
Puissances de douze en notation duodécimale
Exposant Duodécimal Équivalent en sénaire Équivalent en décimal Équivalent en vicésimal
-3 0.001 0.000043 1/1728 (0.000578703703...) 1/468 (0.004CBH0EG5JA782K53E19CBH0EG5JA782K53E19...)
-2 0.01 0.0013 1/144 (0.006944...) 1/74 (0.02FB248HFB248H...)
-1 0.1 0.03 1/12 (0.0833...) 1/C (0.1D6D6...)
0 1 1 1 1
1 douze (ou une douzaine) : 10 20 12 C
2 une grosse : 100 202 = 400 122 = 144 C2 = 74
3 une grande grosse : 1,000 203 = 12,000 123 = 1,728 C3 = 468
4 douze grandes grosses : 10,000 204 = 240,000 124 = 20,736 C4 = 2,BGG
5 100,000 205 = 5,200,000 125 = 248,832 C5 = 1B,21C
6 1,000,000 2010 = 144,000,000 126 = 2,985,984 C6 = ID,4J4
7 10,000,000 2011 = 3,320,000,000 127 = 35,831,808 C7 = B3I,JA8
8 100,000,000 2012 = 110,400,000,000 128 = 429,981,696 C8 = 6 E77,E4G
9 1,000,000,000 2013 = 2,212,000,000,000 129 = 5,159,780,352 C9 = 40 C8C,AHC
A 10,000,000,000 2014 = 44,240,000,000,000 1210 = 61,917,364,224 CA = 287,93A,AB4
B 100,000,000,000 2015 = 1,325,200,000,000,000 1211 = 743,008,370,688 CB = 1,909,A26,6E8
10 1,000,000,000,000 2020 = 30,544,000,000,000,000 1212 = 8,916,100,448,256 CC = H,85E,17G,0CG

Fractions[modifier | modifier le code]

  • 1/2 = 0.6
  • 1/3 = 0.4
  • 1/4 = 0.3
  • 1/6 = 0.2
  • 1/8 = 0.16
  • 1/9 = 0.14
  • 1/10 = 0.1

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

  • 1/5 = 0.24972497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.25)
  • 1/7 = 0.186A35186A35 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.187)
  • 1/A = 0.124972497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.125)
  • 1/B = 0.11 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Autres fractions :
  • 2/3 = 0.8
  • 3/4 = 0.9
  • 2/5 = 0.49274927…
  • 3/5 = 0.72497249…
  • 4/5 = 0.97249724…
  • 5/6 = 0.A
  • 2/7 = 0.35186A35186A
  • 3/7 = 0.5186A35186A3
  • 4/7 = 0.6A35186A3518
  • 5/7 = 0.86A35186A351
  • 6/7 = 0.A35186A35186
  • 3/8 = 0.46
  • 5/8 = 0.76
  • 7/8 = 0.A6
  • 2/9 = 0.28
  • 4/9 = 0.54
  • 5/9 = 0.68
  • 7/9 = 0.94
  • 8/9 = 0.A8
  • 3/A = 0.372497249
  • 7/A = 0.849724972
  • 9/A = 0.A97249724
  • 2/B = 0.22
  • 3/B = 0.33
  • 4/B = 0.44
  • 5/B = 0.55
  • 6/B = 0.66
  • 7/B = 0.77
  • 8/B = 0.88
  • 9/B = 0.99
  • A/B = 0.AA
  • 5/10 = 0.5
  • 7/10 = 0.7
  • B/10 = 0.B

En base 12, les fractions ayant pour dénominateur 5 (sauf si le numérateur est un multiple de 5) sont similaires à celles ayant pour dénominateur 7 en base 10 : chaque résultat est un mélange de chiffres (en base 12 : 2, 4, 7 et 9 | en base 10 : 1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Exemple de calcul
  • Décimal - Division par trois
    • Décimal : 100/3 = 33.33…
    • Duodécimal : 84/3 = 29.4
  • Hexadécimal - Division par trois
    • Hexadécimal : 100/3 = 55.55…
    • Duodécimal : 194/3 = 71.4
  • Décimal - Division par neuf
    • Décimal : 100/9 = 11.11…
    • Duodécimal : 84/9 = B.14
  • Hexadécimal - Division par neuf
    • Hexadécimal : 100/9 = 1C.71C71C…
    • Duodécimal : 194/9 = 24.54
Fractions équivalentes en duodécimal et en sénaire
Fraction décimale Fraction duodécimale Fraction sénaire Écriture duodécimale Écriture sénaire
1/2 1/2 1/2 0.6 0.3
1/3 1/3 1/3 0.4 0.2
1/4 1/4 1/4 0.3 0.13
1/5 1/5 1/5 0.24972497… 0.1111…
1/6 1/6 1/10 0.2 0.1
1/7 1/7 1/11 0.186A35186A35… 0.0505…
1/8 1/8 1/12 0.16 0.043
1/9 1/9 1/13 0.14 0.04
1/10 1/A 1/14 0.124972497… 0.0333…
1/11 1/B 1/15 0.1111… 0.0313452421
1/12 1/10 1/20 0.1 0.03
1/16 1/14 1/24 0.09 0.0213
1/18 1/16 1/30 0.08 0.02
1/24 1/20 1/40 0.06 0.013
1/27 1/23 1/43 0.054 0.012
1/32 1/28 1/52 0.046 0.01043
1/36 1/30 1/100 0.04 0.01
1/48 1/40 1/120 0.03 0.0043
1/54 1/46 1/130 0.028 0.004
1/64 1/54 1/144 0.023 0.003213
1/72 1/60 1/200 0.02 0.003
1/81 1/69 1/213 0.0194 0.0024
1/96 1/80 1/240 0.016 0.00213
1/108 1/90 1/300 0.014 0.002
1/128 1/A8 1/332 0.0116 0.0014043
1/144 1/100 1/400 0.01 0.0013
1/162 1/116 1/430 0.00A8 0.0012
1/192 1/140 1/520 0.009 0.001043
1/216 1/160 1/1000 0.008 0.001
1/243 1/183 1/1043 0.00714 0.00052
1/256 1/194 1/1104 0.0069 0.00050213
1/288 1/200 1/1200 0.006 0.00043
1/324 1/230 1/1300 0.0054 0.0004
1/432 1/300 1/2000 0.004 0.0003
1/486 1/346 1/2130 0.00368 0.00024
1/512 1/368 1/2212 0.00346 0.000231043
1/576 1/400 1/2400 0.003 0.000213
1/648 1/460 1/3000 0.0028 0.0002
1/729 1/509 1/3213 0.002454 0.000144
1/864 1/600 1/4000 0.002 0.00013
1/972 1/690 1/4300 0.00194 0.00012
1/1152 1/800 1/5200 0.0016 0.0001043
1/1296 1/900 1/10000 0.0014 0.0001
1/1458 1/A16 1/10430 0.001228 0.000052
1/1728 1/1000 1/12000 0.001 0.000043
1/1944 1/1160 1/13000 0.000A8 0.00004
1/2187 1/1323 1/14043 0.0009594 0.0000332
1/4096 1/2454 1/30544 0.000509 0.000015220213
1/5832 1/3460 1/43000 0.000368 0.000012
1/6561 1/3969 1/50213 0.00031B14 0.00001104

Différence entre décimal et sénaire[modifier | modifier le code]

La différence entre le nombre duodécimal et le nombre "décimal ou sénaire" est que 10 comprend 2 à la 2e puissance. Des phénomènes similaires se produisent également en vicésimal et octodécimal.


En décimal (= 2 ᛫ 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 ont une représentation finie :

1/8 = 1/23

1/20 = 1/(22᛫5)

et

1/500 = 1/(22᛫53)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.125, 0.05 et 0.002 respectivement).

Cependant, 1/3 et 1/7 donnent les répétitions 0.33... et 0.142857142857...


En sénaire (= 2 ᛫ 3), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/12 = 1/(22᛫3)

1/20 = 1/(22᛫5)

et

1/300 = 1/(22᛫3᛫52)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.043, 0.03 et 0.002 respectivement).

Cependant,

et

donnent les répétitions 0.11... et 0.0505...


En duodécimal (= 2 ᛫ 2 ᛫ 3), comme en sénaire, les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 0.16.

1/18 (décimal : 1/20) et 1/358 (décimal : 1/500) nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule car leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1/3, 1/10 (sénaire : 1/20) et 1/90 (sénaire : 1/300) s'expriment exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.4, 0.1 et 0.014 respectivement).

1/7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en décimal et en sénaire.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif annuel (2/36, 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0.000332 en sénaire (332/1,000,000 → 332 = 211, en sénaire), mais 0.0048A8 en duodécimal (101,532/144,000,000 → 101,532 = 221 en sénaire = 211 en duodécimal).

Plaidoyer pour le dozénalisme[modifier | modifier le code]

Il existe deux organismes : la Dozenal Society of America (DSA) et la Dozenal Society of Great Britain (DSGB) qui font la promotion du système dozénal en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de douze, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge[7] ont également été proposés.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
  2. Dictionnaire Gaffiot, p. 569.
  3. Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, , p. 16.
  4. Grosse sur le wiktionnaire.
  5. Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, , p. 67
  6. Notations malheureuses puisque dans « 1212 », les deux nombres notés 12 ont des sens différents ! Le premier vaut quatorze et le deuxième, douze.
  7. « Dozenal clock », sur Dozenal society.

Liens[modifier | modifier le code]