Nombre dodécaédrique centré

Un nombre dodécaédrique centré est un nombre figuré polyédrique centré comptant des points répartis dans un dodécaèdre régulier par couches successives à partir du centre. Il existe deux versions de ces nombres suivant que les faces sont centrées ou non.

Première version, faces centrées[modifier | modifier le code]

Avec $n$ points dans chaque arête du dodécaèdre, le nombre dodécaédrique centré (à faces centrées) est donné par la formule ^[1]:

$DC_{n}=(2n-1)(5n^{2}-5n+1)$

Il est égal au nombre icosaédrique centré (à faces centrées).

Les premiers de ces nombres sont 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569, ... (suite A005904 de l'OEIS).

Par exemple, $DC_{2}=33$ car il y a 20 points sur les sommets, 12 aux centres des faces, et 1 au centre du polyèdre.

Obtention de ce nombre[modifier | modifier le code]

Le dodécaèdre ayant 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes, la couche dodécaédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $12C_{5,n-1}$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $C_{5,n-1}$ est le nombre pentagonal centré avec $n-1$ points sur chaque côté), plus $30(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 20 points situés aux sommets. On a donc $DC_{n}-DC_{n-1}=12(5(n-1)^{2}-5(n-1)+2)+30(n-2)+20=2(15(n-1)^{2}+2)$ .

Partant de $DC_{1}=1$ , on obtient $DC_{n}=1+2\sum _{k=2}^{n-1}(15(k-1)^{2}+1)=(2n-1)(5n^{2}-5n+1)$ .

Deuxième version, faces non centrées[modifier | modifier le code]

Avec $n$ points dans chaque arête du dodécaèdre, le nombre dodécaédrique centré (à faces non centrées) est donné par la formule ^[2]:

$DC'_{n}=(2n-1)(3n^{2}-3n+1)$

Les premiers de ces nombres sont 1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ... (suite A193218 de l'OEIS).

Par exemple, $DC'_{2}=21$ car il y a 20 points sur les sommets, et 1 au centre du polyèdre.

Obtention de ce nombre[modifier | modifier le code]

Le dodécaèdre ayant 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes, la couche dodécaédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $12(P_{5,n}-5(n-1))$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $P_{5,n}$ est le nombre pentagonal non centré avec $n$ points sur chaque côté), plus $30(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 20 points situés aux sommets. On a donc $DC'_{n}-DC'_{n-1}=12({\frac {3n^{2}-n}{2}}-5(n-1))+30(n-2)+20=18n^{2}-36n+20=2(9(n-1)^{2}+1)$ .

Partant de $DC_{1}=1$ , on obtient $DC_{n}=1+2\sum _{k=2}^{n}(9(k-1)^{2}+1)=(2n-1)(3n^{2}-3n+1)$ .

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Boon K. Teo, N. J. A. Sloane, « Magic Numbers in Polygonal and Polyhedral Clusters », Inorg. Chem., vol. 24,‎ 1985, p. 4550 (lire en ligne)
↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 135

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

[:0-1] (en) Boon K. Teo, N. J. A. Sloane, « Magic Numbers in Polygonal and Polyhedral Clusters », Inorg. Chem., vol. 24,‎ 1985, p. 4550 (lire en ligne)

[:1-2] (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 135

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