Nombre pyramidal carré

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Le 4e nombre pyramidal carré est
12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal carré est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide de base carrée, dont chaque couche représente un nombre carré.

Les dix premiers[1] sont 1, 1+4 = 5, 5+9 = 14, 14+16 = 30, 55, 91, 140, 204, 285 et 385.

On montre par récurrence que pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre pyramidal carré, somme des n premiers nombres carrés, est :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les deux seuls nombres pyramidaux carrés qui sont des nombres carrés sont P1(4) = 1 = 12 et P24(4) = 4 900 = 702. Ce résultat, conjecturé par Édouard Lucas en 1875, fut achevé de prouver par George Neville Watson en 1918[2], ce qui résout le « problème boulets de canon[3] » : peut-on former, avec le même nombre de boulets, un carré étalé au sol et une pyramide de base carrée ?

Le n-ième nombre pyramidal carré est le quart du (2n)-ième nombre tétraédrique.

La somme des n-ième et (n – 1)-ième nombres pyramidaux carrés est le n-ième nombre octaédrique[4].

Un exemple : Nombre de carrés dans une grille carrée[modifier | modifier le code]

Combien y a-t-il de carrés distincts dans une grille carrée n x n ?

  • Le nombre de carrés 1 x 1 est n2.
  • Le nombre de carrés 2 x 2 est (n-1)² , comme on peut le voir en formant une première ligne de carrés 2 x 2 en haut de la grille.
  • Plus généralement, le nombre de carrés k x k (1 ≤ kn) est (nk + 1)2.

Le nombre total de carrés (petits et grands) est alors donné par le nombre pyramidal carré correspondant : 1 carré dans une grille 1 x 1, 5 carrés (un 2 x 2 et quatre 1 x 1 ) dans une grille 2 x 2, ... 55 carrés de taille 1, 2, 3, 4 ou 5 dans une grille 5 x 5...

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square pyramidal number » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les 1 000 premiers, voir ce lien de la suite A000330 de l'OEIS.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Square Pyramidal Number », MathWorld.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Cannonball Problem », MathWorld.
  4. (en) John H. Conway et Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer,‎ (lire en ligne), p. 50.