Somme des n premiers cubes

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Visualisation graphique de l'égalité.

La somme des n premiers cubes est le carré de la somme des n premiers entiers :

.

Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes :

.

Cette identité est parfois appelée théorème de Nicomaque.

De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver. Stroeker[1] estime que « chaque personne étudiant la théorie des nombres a dû être émerveillée par ce fait miraculeux ». Pengelley[2] et Bressoud[3] retrouvent cette égalité non seulement dans l’œuvre de Nicomaque (vivant vers l'an 100 dans l'actuelle Jordanie), mais aussi chez Aryabhata en Inde au Ve siècle, chez Al-Karaji vers l'an 1000 en Perse[4], chez Alcabitius en Arabie, chez le Français Gersonide[5] et chez Nilakantha Somayaji (en) (vers 1500 en Inde), ce dernier fournissant une démonstration visuelle (cf. figure ci-contre).

Plusieurs autres démonstrations sont possibles. L'une est fournie par Charles Wheatstone[6], qui développe chaque cube en une somme de nombres impairs consécutifs et utilise que la somme des n premiers entiers est égale au n-ième nombre triangulaire  :

Une preuve algébrique plus directe est la suivante :

.

Les valeurs de pour les premiers entiers naturels sont : 0, 1, 9, 36, 100, 225etc. (suite A000537 de l'OEIS).

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) R. J. Stroeker, « On the sum of consecutive cubes being a perfect square », Compositio Mathematica, vol. 97,‎ , p. 295-307 (lire en ligne).
  2. (en) David Pengelley, « The bridge between the continuous and the discrete via original sources », dans Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference, National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, (lire en ligne).
  3. (en) David Bressoud (en), « Calculus before Newton and Leibniz, Part III », AP Central, .
  4. (en) Victor J. Katz (en), A History of Mathematics. An Introduction, Addison-Wesley, , 2e éd., p. 255, rapporté par (en) Janet Beery, « Sums of Powers of Positive Integers - Abu Bakr al-Karaji (d. 1019), Baghdad », Convergence, MAA,‎ (lire en ligne). Voir aussi A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, [détail des éditions], p. 90.
  5. Katz 1998, p. 304, rapporté par Beery 2010.
  6. (en) Charles Wheatstone, « On the formation of powers from arithmetical progressions », Proceedings of the Royal Society of London, vol. 7,‎ , p. 145-151 (DOI 10.1098/rspl.1854.0036).

Articles connexes[modifier | modifier le code]