Théorème des trois carrés

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En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le théorème des trois carrés s'énonce de la manière suivante :

(1) Un entier naturel est somme de trois carrés d'entiers si (et seulement si) il n'est pas de la forme 4j × (8k – 1) avec j et k entiers.

Histoire[modifier | modifier le code]

N. Beguelin découvre en 1774[1] que chaque entier positif qui n'est ni de la forme 8n + 7, ni de la forme 4n, est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante[2]. Cette assertion est clairement équivalente[3] à l'assertion (1) ci-dessus, dont A.-M. Legendre, en 1797 ou 1798[4], donne une preuve défectueuse[5]. En 1801, C. F. Gauss donne la première preuve correcte et complète de ce théorème[6], en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de Legendre[7], dont la preuve laissait également à désirer[8].

Avec le théorème des quatre carrés de Lagrange (qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés[9]) et le théorème des deux carrés de Girard, Fermat et Euler, le problème de Waring pour k = 2 est entièrement résolu.

Preuves[modifier | modifier le code]

Le sens « seulement si » de l'équivalence est simplement dû au fait que modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la réciproque, les trois outils principaux de la preuve, due à J. P. G. L. Dirichlet en 1850[10],[11] et devenue classique[9], sont

Cette réciproque peut également se déduire du théorème de Davenport-Cassels[12], qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois carrés de rationnels, il est somme de trois carrés d'entiers.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Démonstration du théorème de Bachet, et analyse des nombres en triangulaires & en quarrés », Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), p. 312-369.
  2. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. II, p. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reprint).
  3. A. L. Cauchy, « Démonstration du théorème général de Fermat sur les nombres polygones », Mém. Sci. Math. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813-1815), p. 177 et suiv., Œuvres complètes, série 2, tome 6, p. 320 et suiv. : voir p. 323.
  4. A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI (1797-1798), p. 202 et 398-399.
  5. Dickson, p. 261, ne remarque pas les défauts de cette preuve, mais voir l'analyse précise de Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae, [détail des éditions], Addition aux Nos 288-293, [lire sur Wikisource] et les commentaires de (en) André Weil, Number Theory : An approach through history from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], p. 332 et précédentes sur Google Livres ou (en) Elena Deza et Michel Marie Deza (en), Figurate Numbers, World Scientific, (lire en ligne), p. 314.
  6. Gauss 1801, Art. 291 et 292, [lire sur Wikisource].
  7. A.-M. Legendre, « Recherches d'analyse indéterminée », Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paris, 1785, p. 465-559 : p. 514-515.
  8. Dickson, p. 261-262.
  9. a et b Voir par exemple vol. I, partie III, chap. 4 de : (de) E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927.
  10. (de) G. Lejeune Dirichlet, « Über die Zerlegbarkeit der Zahlen in drei Quadrate », J. reine angew. Math., vol. 40,‎ , p. 228-232 (lire en ligne).
  11. G. Lejeune-Dirichlet, « Sur la possibilité de la décomposition des nombres en trois carrés », J. math. pures appl. (2), vol. 4,‎ , p. 233-240 (lire en ligne).
  12. Pour une autre démonstration, voir par exemple (en) N. C. Ankeny (en), « Sums of Three Squares », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 8, no 2,‎ , p. 316-319 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

André Weil, « Sur les sommes de trois et quatre carrés », L'Enseignement mathématique, vol. 20,‎ , p. 215-222 (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]