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Nombre carré triangulaire

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En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres[1].

Ils s'écrivent sous la forme[2]

Par exemple, .

La suite est répertoriée comme suite A001110 de l'OEIS, et si l'on pose , les suites et sont respectivement répertoriées comme suite A001108 de l'OEIS et comme suite A001109 de l'OEIS.

Démonstration

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Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante[2],[3],[4].

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s2, c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

Les solutions sont données par

soit

On trouve donc

d'où la valeur annoncée pour Nk = sk2.

Valeurs numériques

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k Nk sk tk tk/sk
1 1 1 1 1
2 36 6 8 1,3…
3 1 225 35 49 1,4
4 41 616 204 288 1,411…
5 1 413 721 1 189 1 681 1,413…
6 48 024 900 6 930 9 800 1,4141…
7 1 631 432 881 40 391 57 121 1,41420…
8 55 420 693 056 235 416 332 928 1,414211…
9 1 882 672 131 025 1 372 105 1 940 449 1,4142132…

Propriétés

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  • Lorsque tend vers l'infini, le rapport

tend vers la racine carrée de deux et

  • Les suites et vérifient la relation de récurrence linéaire double : .

Équations diophantiennes apparentées

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Nombres triangulaires égaux au double d'un nombre triangulaire

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L'équation diophantienne s'écrit : (2) .

En posant , on retombe sur l'équation (1) .

Les solutions de (2) sont donc données par .

La suite débute par : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659 ; suite A001652 de l'OEIS.

La suite débute par : 0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554 ; suite A053141 de l'OEIS.

L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques[3].

Nombres carrés centrés qui sont aussi des carrés

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Il s'agit de l'équation (3) . Comme est forcément impair, on peut poser et l'équation (3) s'écrit alors , ce qui redonne l'équation (2) en posant .

Les solutions de (3) sont donc données par .

La suite débute par : 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109 ; suite A001653 de l'OEIS.

Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular square number » (voir la liste des auteurs)

, renommé « Square triangular number » en août 2005.

  1. Emile Fourrey, Récréations mathématiques, Vuibert, (lire en ligne), p. 63
  2. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Square Triangular Number », sur MathWorld.
  3. a et b Mercedes Haiech, « Oies sauvages et nombres triangulaires », Quadrature, no 127,‎ janvier, février, mars 2023, p. 9-11 (lire en ligne Accès payant)
  4. Claude Morin, « Nombres triangulaires, équations t_m = n^2 et t_p = 2t_q », Quadrature, no 131,‎ janvier-février-mars 2024, p. 39-40 (lire en ligne Accès payant)