Matrice symétrique copositive[modifier | modifier le code]

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire et en optimisation, une matrice symétrique copositive est une matrice réelle carrée symétrique, dont la forme quadratique associée est positive sur l'orthant positif.

La notion de matrice symétrique copositive a été introduite et étudiée par Motzkin (1952^[1]).

La description des matrices copositives non nécessairement symétriques est faite ailleurs.

Notations[modifier | modifier le code]

On note

[\![1,n]\!]:=\{1,\ldots ,n\}\equiv [1,n]\cap \mathbb {N}

l'ensemble des $n$ premiers entiers naturels non nuls.

Les inégalités vectorielles de la forme $v\geqslant 0$ , avec $v\in \mathbb {R} ^{n}$ , doivent se comprendre composante par composante ; ainsi l'inégalité précédente signifie que $v_{i}\geqslant 0$ pour tout $i\in [\![1,n]\!]$ .

On note

${\mathcal {S}}^{n}$ , l'ensemble des matrices réelles d'ordre $n$ symétriques,
${\mathcal {S}}_{+}^{n}:=\{A\in {\mathcal {S}}^{n}:x^{\top }Ax\geqslant 0~{\mbox{pour tout}}~x\in \mathbb {R} ^{n}\}$ , le cône des matrices de ${\mathcal {S}}^{n}$ qui sont symétriques semi-définies positives.

Définition[modifier | modifier le code]

Matrice symétrique copositive — Une matrice symétrique copositive est une matrice $A\in {\mathcal {S}}^{n}$ telle que

\forall \,x\geqslant 0:\quad x^{\top }Ax\geqslant 0.

L'ensemble des matrices symétriques copositives d'ordre $n$ est noté ${\mathcal {C}}^{n}$ .

L'ensemble ${\mathcal {C}}^{n}$ est donc un ensemble plus grand que ${\mathcal {S}}_{+}^{n}$ .

Cône des matrices symétriques copositives[modifier | modifier le code]

Aspects géométriques[modifier | modifier le code]

Cône tangent[modifier | modifier le code]

Cône normal[modifier | modifier le code]

Rayon extrême[modifier | modifier le code]

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Selon Cottle, Pang et Stone (2009), la notion de matrice copositive symétrique a été introduite et étudiée par Motzkin en 1952 dans un rapport sans titre du National Bureau of Standards, le rapport 1818, pages 11-12.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Matrice complètement positive
Matrice copositive (non nécessairement symétrique comme ici)
Optimisation copositive

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) A. Berman, N. Shaked-Monderer (2003). Completely Positive Matrices. World Scientific, River Edge, NJ, USA.
(en) S. Bundfuss (2009). Copositive Matrices, Copositive Programming, and Applications. Dissertation, Technischen Universität Darmstadt.
(en) P.J.C. Dickinson, L. Gijben (2011). On the computational complexity of membership problems for the completely positive cone and its dual. Optimization Online
(en) M. Hall, M. Newman (1963). Copositive and completely positive quadratic forms. Proceedings Cambridge Philos. Soc., 59, 329–339.

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copositive

[1] Selon Cottle, Pang et Stone (2009), la notion de matrice copositive symétrique a été introduite et étudiée par Motzkin en 1952 dans un rapport sans titre du National Bureau of Standards, le rapport 1818, pages 11-12.

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