Gradient projeté[modifier le code]

En optimisation, qui est une branche des mathématiques, le gradient projeté est un vecteur dont la nullité exprime l'optimalité au premier ordre d'un problème d'optimisation avec contrainte. De manière un peu plus précise, le gradient projeté est la projection orthogonale du gradient en un point $x$ de la fonction que l'on cherche à minimiser sur l'opposé du cône tangent au point $x$ à l'ensemble admissible du problème.

Définition[modifier le code]

Considérons le problème d'optimisation générique

(P_{X})\qquad \inf _{x\in X}\;f(x),

dans lequel on cherche à minimiser une fonction différentiable $f:\mathbb {E} \to \mathbb {R}$ sur une partie $X$ d'un espace euclidien $\mathbb {E}$ . Soit $x$ un point de $X$ . On note

$\nabla f(x)\in \mathbb {E}$ le gradient de $f$ en $x$ ,
$T_{x}X$ le cône tangent à $X$ en $x$ .

Alors le gradient projeté en $x$ est le vecteur de $\mathbb {E}$ défini par

g^{\rm {\scriptscriptstyle P}}(x)=P_{-T_{x}X}\nabla f(x),

où $P_{-T_{x}X}$ est le projecteur orthogonal sur l'opposé du cône tangent $T_{x}X$ à $X$ en $x$ .