Prisme (optique)

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3 prismes différents

Décomposition de la lumière blanche à travers un prisme. (figure 1)

Un prisme est un élément optique utilisé pour réfracter la lumière, la réfléchir ou la disperser en ses constituants (les différents rayonnements de l'arc-en-ciel pour la lumière blanche). C'est traditionnellement un prisme (solide) droit à base triangulaire, constitué d'un matériau transparent : verre, plexiglas, notamment.

Du point de vue de l'optique géométrique, un prisme est l'association de deux dioptres plans non parallèles.

Lorsque la lumière passe de l'air au verre, par exemple, elle est réfractée. Lorsqu'elle ressort par l'autre face, elle est de nouveau réfractée. Le rayon ou faisceau incident est donc dévié. Mais l'indice de réfraction n'est pas le même pour les différentes longueurs d'onde. De sorte que, un faisceau de lumière blanche est séparé en ses composantes : le bleu est plus dévié que le jaune, lui-même plus dévié que le rouge (cf figure 1). Dans ces conditions, le prisme peut être utilisé pour analyser un rayonnement visible polychrome (spectroscopie).

Histoire

Avant Isaac Newton, on pensait que le prisme ajoutait des couleurs au faisceau de lumière blanche. Newton place alors un deuxième prisme de telle manière qu'il ne soit atteint que par une seule couleur et découvre que la couleur reste inchangée. Il en conclut que les prismes permettent de disperser les couleurs. Il utilise ensuite un deuxième prisme et réussit à recomposer un faisceau blanc à partir de l'arc-en-ciel généré par le premier prisme : la démonstration était faite que les couleurs ne sont pas le résultat d'une action du prisme sur la lumière blanche, mais bien que c'est la lumière blanche qui est composée de plusieurs couleurs.

Aujourd'hui, on parle de composantes monochromatiques et de spectres lumineux. Le spectre de la lumière solaire est un spectre continu, tandis que le spectre des émissions atomiques (lampe à vapeur de mercure, lampe à vapeur de sodium, par exemple) est constitué de raies correspondant à des longueurs d'ondes précises. C'est ce phénomène qui a amené Niels Bohr à imaginer la quantification de l'énergie des atomes, nouvelle physique connue désormais sous le terme de physique quantique.

Géométrie

Définition des angles (figure 2). On note : * i l'angle d'incidence, * i′ l'angle du rayon émergent, * r l'angle de la 1^re réfraction, * r′ l'angle de la 2^e réfraction, * A l'angle au sommet du prisme, * D l'angle de déviation entre le rayon émergent et le rayon incident.

Courbe de déviation en fonction de l'angle d'incidence

On suppose le prisme placé dans l'air (indice 1). Le rayon incident suit la loi de Snell-Descartes de la réfraction au passage du premier dioptre, donc les angles i et r sont tels que :

$\sin{i} = n \sin{r} \,$ (1)

(cf. figure 2).

De même, à la sortie du second dioptre :

$n \sin{r'} = \sin{i'} \,$ (2)

La géométrie impose par ailleurs les relations :

A = r + r′ (3)

et

D = i + i′ - A (4)

À partir de ces relations, un calcul simple dans l'approximation des petits angles permet de déterminer l'ordre de grandeur de l'angle de déviation :

sin i ≃ i ; sin i′ ≃ i′ ; sin r ≃ r ; sin r′ ≃ r′

soit

i ≃ n⋅r d'après (1)

i′ ≃ n⋅r′ d'après (2)

l'équation (4) devient donc

D = n⋅(r + r′) - A

soit d'après (3)

D = (n - 1)⋅A

l'angle A étant en radian. Dans l'approximation des petits angles, la déviation est indépendante de l'angle d'incidence.

Si on ne peut pas faire l'approximation des petits angles, la déviation est :

$D = i + \arcsin \left [ n \cdot \sin \left ( A - \arcsin \frac{\sin i}{n} \right ) \right ]- A$

Le minimum de déviation

L'application qualitative de la loi de la réfraction montre que si l'on diminue l'angle d'incidence l'angle émergent augmente rapidement (et atteint 90°) et qu'inversement, si l'on augmente l'angle d'incidence on peut aller jusqu'à 90° tandis que l'angle émergent tend vers une limite non nulle. Pour atteindre ces 2 cas limites, la déviation a manifestement augmenté. Il existe donc entre ces 2 extrêmes, un minimum de déviation (ce que l'on observe aisément expérimentalement).

géométrie du minimum de déviation

Dès lors, la prise en compte de la symétrie du problème - compte tenu du principe du retour inverse de la lumière - permet de comprendre que ce minimum correspond nécessairement à la géométrie ci-contre, le rayon lumineux représenté en rouge devant pouvoir être parcouru dans un sens comme dans l'autre (tout en restant dans la situation du minimum de déviation).

Des considérations élémentaires de géométrie (angles à côtés perpendiculaires, notamment) permettent de voir que dans ce cas r = A/2 et i = r + D_m/2 =(A + D_m)/2 L'application de la loi de la réfraction au premier dioptre s'écrit alors : n.sin(A/2) = sin((A + D_m)/2).

Remarque : cette relation montre que le minimum de déviation dépend de l'indice et donc, dans le cas d'un matériau dispersif (cas du prisme dans un goniomètre), le minimum de déviation n'est pas le même pour les différentes longueurs d'ondes.

Démonstration analytique

Pour n et A fixés on a les formules du prisme : (c) A = r + r' et (d) D = i + i'- A De plus avec les lois de Descartes :

(a) sin(i) = n*sin(r)

(b) sin(i') = n*sin(r')

Différenciation des 4 équations précédentes :

(a') cos(i)*di = n*cos(r)*dr

(b') cos(i')*di' = n*cos(r')*dr'

(c') 0 = dr + dr'

(d') dD = di + di'

On obtient :

(a') n = (cos(i)*di)/ (cos(r)*dr)

(b') di' = (n*cos(r')*dr')/cos(i')

(c') dr = - dr'

On remplace n dans (b') grâce à (a') :

di' = (cos(i)*di*cos(r')*dr')/(cos(i')*cos(r)*dr)

On simplifie grâce à (c') :

di' = -(cos(i)*di*cos(r'))/(cos(i')*cos(r))

On remplace di' dans (d') :

dD = di*[1 - (cos(i)*cos(r'))/(cos(i')*cos(r))]

Or au minimum de déviation dD/di = 0 donc

1 - (cos(i)*cos(r'))/(cos(i')*cos(r)) = 0

cos(i)*cos(r') = cos(i')*cos(r) soit cos²(i)*cos²(r') = cos²(i')*cos²(r)

En remplaçant chaque cos² par (1 - sin²) on obtient :

n² - n²*sin²(i) - sin²(i') + sin²(i)*sin²(i') = n² - n²*sin²(i') - sin²(i) + sin²(i')*sin²(i)

- n²*sin²(i) - sin²(i') = - n²*sin²(i') - sin²(i)

(n² - 1)*(sin²(i) - sin²(i'))= 0

Comme n est différent de 1 : sin²(i) = sin²(i') ; sin(i) = sin(i') ; i = i'
et d'après les lois de Descartes : sin(r) = sin(r') ; r = r'

Des égalités précédentes on en déduit :

d'après (c) A = 2*r soit r=A/2

d'après (d) D_m = 2*i - A soit i = (D_m + A)/2

Soit finalement en remplaçant dans l'équation (a), on obtient Dm en fonction de A et n :

n⋅sin(A/2) = sin((A + D_m)/2)

 

Conditions d'émergence

Suivant l'angle du prisme, suivant son indice, un rayon arrivant sous une incidence trop faible peut ne pas émerger par la face opposée : il est réfléchi par le dioptre et émerge donc par la base du prisme.

Pour qu'un rayon émerge du prisme il faut que l'angle d'incidence i soit compris entre i_o et 90° :

i_o = arcsin [n⋅sin(Â - arcsin 1/n)]

avec

•  : angle du prisme ;
• n : indice de réfraction.

Cette condition d'émergence impose également un angle au sommet maximum pour le prisme :

 ≤ 2⋅arcsin (1/n)

Dispersion chromatique

Dispersion de la lumière blanche à travers un prisme.

Reflexion de la lumière dans un prisme.

L'indice de réfraction d'un verre varie en fonction de la longueur d'onde, ce qui provoque une dispersion chromatique.

D'après la loi de Cauchy, on a :

n(λ) = a + b/λ²

où a et b sont des constantes dépendant du verre, soit, dans l'approximation des petits angles :

D = (a + b/λ²-1)⋅Â

Utilisations

Les prismes sont utilisés pour dévier ou réfléchir la lumière dans différents dispositifs optiques (les jumelles, par exemple) ; ils sont une alternative aux miroirs.

On les utilise parfois pour réaliser une anamorphose.

En ce qui concerne la propriété de dispersion des couleurs, en spectroscopie, les prismes ont souvent été remplacés par les réseaux. Toutefois, les réseaux présentent plusieurs ordres de diffraction qui font qu'une même déviation peut correspondre à plusieurs longueurs d'onde différentes, on utilise donc parfois un prisme après un réseau pour séparer les ordres; la déviation du prisme est perpendiculaire à la déviation du réseau.

Pour certaines démonstrations, on utilise un « prisme à vision directe » : c'est un assemblage de 3 prismes qui permet de minimiser la déviation tout en offrant une bonne dispersion.

Certains matériaux présentent une biréfringence : on met alors à profit la limite de réflexion totale pour diviser un rayon lumineux en deux rayons de polarisations différentes (voir prisme de Nicol).

En lumière polarisée, en particulier avec un laser, on utilise généralement le prisme à une incidence proche de l'angle dit de Brewster afin de minimiser les pertes par réflexion. Si le prisme est utilisé au minimum de déviation, il est possible d'être exactement à l'angle de Brewster sur les deux faces du prisme, à condition d'avoir un angle au sommet bien déterminé. Dans un verre d'indice 1,7, cet angle est très proche de 60°, c'est-à-dire que le prisme doit être équilatéral.

Fabrication

Le choix du matériau dépend des conditions de température, de la précision de la géométrie recherchée et du spectre du faisceau incident. Parmi les matériaux utilisés, on trouve

• Fluorure
  • BaF₂ - Fluorure de baryum (en)
  • CaF₂ - Fluorine
  • MgF₂ - Fluorure de magnésium
  • LiF₂ - Fluorure de lithium
• Chlorure
  • AgCl - Chlorure d'argent
  • NaCl - Chlorure de sodium
  • KCl - Chlorure de potassium
• Bromure
  • KBr - Bromure de potassium
• Matériaux pour l'infra-rouge
  • ZnSe - Séléniure de zinc
  • ZnS - Sphalérite
  • Ge - Germanium
  • Si - Silicium
  • KRS - Bromoiodure de thallium
• Verre
  • FS - Silice fondue (verre de silice)
  • BK7 -Borosilicate Crown Optical Glass - Le plus utilisé -
  • Zerodur
• Monocristaux
  • Al₂O₃ - Saphir
  • Quartz cristallin
• Grenat non dopé
  • YAG - Grenat d'yttrium et d'aluminium
  • GGG - Grenat de gadolinium et de gallium (en)
• Polymères

Voir aussi

Articles connexes

• Réfraction
• Lois de Snell-Descartes
• Dispersion
• Optique géométrique
• Prisme (solide), prisme droit,... (géométrie)

Liens externes

• Prisme, Université du Mans.
• Animation sur la déviation de la lumière par un prisme
• Une vidéo explicative sur le prisme utilisé dans un goniomètre
• Un site commercial détaillant l'usage des matériaux
• (histoire des sciences) Lettre de Newton contenant sa nouvelle théorie sur la lumière et les couleurs (1672), en ligne et commentée sur le site BibNum.