Longueur d'un module

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La longueur d'un module M sur un anneau A est un entier naturel ou l'infini. Elle généralise d'une certaine manière la notion de dimension d'un espace vectoriel sur un corps. Les modules de longueur finie ont beaucoup de particularités généralisant celles des espaces vectoriels de dimension finie.

Motivation[modifier | modifier le code]

Les modules simples sont les modules M non nuls qui n'ont pas d'autres sous-modules que {0} et M. Par exemple, un espace vectoriel est simple en tant que module si et seulement si c'est une droite vectorielle. Pour un module simple M, la seule suite de sous-modules strictement croissante pour l'inclusion est

\{0\} \subsetneq M.

Les modules simples constituent en quelque sorte des entités faciles. Si pour un module M on peut trouver une suite strictement croissante de sous-modules (M_k)_{0 \leq k \leq n} :

M_0 = \{0\} \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1} \subsetneq M_n = M

telle que pour tout entier k de 1 à n, le module quotient M_k / M_{k-1} soit simple, alors on ne peut pas intercaler de sous-module dans cette suite tout en conservant des inclusions strictes. On dit que le A-module M est de longueur finie et que sa longueur vaut n. Cette longueur concorde avec la définition donnée plus bas.

En particulier si E est un k-espace vectoriel de dimension finie, alors une telle suite est constituée de sous-espaces vectoriels emboîtés dont la dimension croît d'une unité à chaque étape. On parle alors de décomposition de l'espace vectoriel en drapeau et la longueur de E est donc sa dimension.

Définition[modifier | modifier le code]

La longueur d'un module M sur un anneau A, non nécessairement commutatif, est le plus grand entier n tel qu'il existe une suite  M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n strictement croissante de sous-modules de M, si un tel maximum existe. Sinon, on dit que la longueur est infinie.

On la note \ell_A(M), ou \ell(M) quand il ne fait aucun doute sur l'anneau des scalaires.

Remarque. La loi externe du A-module M est une opération de A qui (entre autres propriétés) fait de M un groupe à opérateurs dans A. La longueur du module M n'est autre que sa longueur comme groupe à opérateurs.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

En ce qui concerne les modules de longueur finie, de nombreuses propriétés sont analogues à ce que l'on connaît pour les espaces vectoriels de dimension finie. Par exemple,

  • si M est un module de longueur finie, alors tout sous-module de M est de longueur finie;
  • si M est de longueur finie et si N est un sous-module de M de même longueur que M, alors N = M ;
  • si M admet un sous-module de longueur finie N tel que le module quotient M/N soit aussi de longueur finie, alors M est de longueur finie et on a
\ell(M) = \ell(N) + \ell(M/N).

On en déduit une formule de Grassmann sur la longueur de sous-modules :

\ell(N + P) + \ell(N \cap P) = \ell(N) + \ell(P)

Par ailleurs, le théorème suivant donne une caractérisation des modules de longueur finie :

Un module est de longueur finie si et seulement s'il est à la fois artinien et noethérien[1].

Le théorème de Krull-Schmidt (en) garantit que tout module de longueur finie est, de façon unique à isomorphisme près, somme directe de modules indécomposables[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8, Paris, 1981, rééd. 2012, partiellement consultable sur Google Livres et sur le site des éditions Springer, p. VIII.2.
  2. (en) Tsit Yuen Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer, coll. « GTM » (no 131),‎ (1re éd. 1991) (ISBN 978-0-387-95183-6, lire en ligne), p. 288

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 6