Fonction additive (arithmétique)

En théorie des nombres, une fonction additive $f$ est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb {C}$) telle que :

pour tous entiers $a$ et $b>0$ premiers entre eux, $f(ab)=f(a)+f(b)$

(en particulier, $f(1)=0$).

On dit que $f$ est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$.

Une fonction arithmétique $f$ est dite complètement additive lorsque :

Pour tous entiers $a$ et $b>0$, $f(ab)=f(a)+f(b)$,

même si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux.

En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :

Pour tous éléments $a$ et $b$ du domaine de définition de $f$, $f(a+b)=f(a)+f(b)$.

Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.

Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.

Exemples de fonctions complètement additives

Deux exemples élémentaires

• la restriction de la fonction logarithme à $\mathbb {N} ^{*}$.
• la valuation p-adique, pour tout nombre premier $p$.

La fonction Ω

La fonction $\Omega$ associe à un entier naturel non nul $n$, le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de $n$ :

${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}\Omega (n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}.$

Par exemple (suite A001222 de l'OEIS) :

$\Omega (4)=2$ ;

$\Omega (24)=\Omega (2^{3}\times 3^{1})=3+1=4$ ;

$\Omega (27)=3$ ;

$\Omega (144)=\Omega (2^{4}\times 3^{2})=\Omega (2^{4})+\Omega (3^{2})=4+2=6$;

$\Omega (2000)=\Omega (2^{4}\times 5^{3})=\Omega (2^{4})+\Omega (5^{3})=4+3=7$ ;

${\ce {\Omega(2001)=3}}$ ;

${\ce {\Omega(2002)=4}}$ ;

${\ce {\Omega(2003)=1}}$ ;

$\Omega (54\ 032\ 858\ 972\ 279)=\Omega (11\times 1993^{2}\times 1236661)=4$ ;

$\Omega (54\ 032\ 858\ 972\ 302)=\Omega (2\times 7^{2}\times 149\times 2081\times 1\ 778\ 171)=6$ ;

$\Omega (20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=\Omega (5\times 7\times 11^{2}\times 1993^{2}\times 1236661)=7$.

La fonction a₀

La fonction $a_{0}$ (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul $n$ la somme avec répétition des facteurs premiers de $n$ :

${\text{si }}n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}},{\text{ alors }}a_{0}(n)=\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}p_{i}.$

Par exemple (suite A001414 de l'OEIS) :

$a_{0}(4)=4$ ;

$a_{0}(20)=a_{0}(2^{2}\times 5)=2+2+5=9$ ;

$a_{0}(27)=9$ ;

$a_{0}(144)=a_{0}(2^{4}\times 3^{2})=a_{0}(2^{4})+a_{0}(3^{2})=8+6=14$ ;

$a_{0}(2000)=a_{0}(2^{4}\times 5^{3})=a_{0}(2^{4})+a_{0}(5^{3})=8+15=23$ ;

$a_{0}(2001)=55$ ;

$a_{0}(2002)=33$ ;

$a_{0}(2003)=2003$ ;

$a_{0}(54\ 032\ 858\ 972\ 279)=1\ 240\ 658$ ;

$a_{0}(54\ 032\ 858\ 972\ 302)=1\ 780\ 417$ ;

$a_{0}(20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=1\ 240\ 681$.

Exemples de fonctions qui sont seulement additives

• la fonction $\omega$, qui associe à un entier naturel $n$ le nombre total de nombres premiers distincts qui divisent $n$ (elle est donc majorée par $\Omega$). Par exemple (suite A001221 de l'OEIS) :

$\omega (4)=1$ ;

$\omega (27)=1$ ;

$\omega (144)=\omega (2^{4}\times 3^{2})=\omega (2^{4})+\omega (3^{2})=1+1=2$ ;

$\omega (2000)=\omega (2^{4}\times 5^{3})=\omega (2^{4})+\omega (5^{3})=1+1=2$ ;

$\omega (2001)=3$ ;

$\omega (2002)=4$ ;

$\omega (2003)=1$ ;

$\omega (54\ 032\ 858\ 972\ 279)=3$ ;

$\omega (54\ 032\ 858\ 972\ 302)=5$ ;

$\omega (20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=5$.

• la fonction $a_{1}$ (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) qui à un entier $n$ associe la somme de ses diviseurs premiers distincts (elle est de même majorée par $a_{0}$). Par exemple (suite A008472 de l'OEIS) :

$a_{1}(4)=2$ ;

$a_{1}(20)=2+5=7$ ;

$a_{1}(27)=3$ ;

$a_{1}(144)=a_{1}(2^{4}\times 3^{2})=a_{1}(2^{4})+a_{1}(3^{2})=2+3=5$ ;

$a_{1}(2000)=a_{1}(2^{4}\times 5^{3})=a_{1}(2^{4})+a_{1}(5^{3})=2+5=7$ ;

$a_{1}(2001)=55$ ;

$a_{1}(2002)=33$ ;

$a_{1}(2003)=2003$ ;

$a_{1}(54\ 032\ 858\ 972\ 279)=1\ 238\ 665$ ;

$a_{1}(54\ 032\ 858\ 972\ 302)=1\ 780\ 410$ ;

$a_{1}(20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=1\ 238\ 677$.

Fonctions multiplicatives

À partir de n'importe quelle fonction additive $f$, il est facile de créer une fonction multiplicative $g$ en définissant par exemple $g$ par :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad g(n)=2^{f(n)}.$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Additive function » (voir la liste des auteurs).
• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, p. 97-108) (MSC (2000) 11A25)

Articles connexes

• Équation fonctionnelle
• Morphisme de groupes
• Application linéaire
• Relation faiblement additive