Groupe à opérateurs

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La notion de groupe à opérateurs peut être considérée comme une généralisation de la notion mathématique de groupe. Elle permet de donner une forme plus forte à certains théorèmes classiques, comme le théorème de Jordan-Hölder.

Définitions[modifier | modifier le code]

Groupes à opérateurs[modifier | modifier le code]

Un groupe à opérateurs est constitué de trois objets mathématiques :

telle que, pour tout élément ω de Ω et tous éléments g, h de G

Un groupe à opérateurs ne se réduit pas à son groupe sous-jacent, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.

Un groupe à opérateurs dont le domaine d'opérateurs est Ω est appelé un groupe à opérateurs dans Ω ou encore un Ω-groupe[1].

Cas du groupe ordinaire : Un groupe ordinaire peut être assimilé à un groupe à opérateurs dans l'ensemble vide Ø. Ainsi, on peut considérer que certains théorèmes relatifs aux groupes sont des cas particuliers de théorèmes relatifs aux groupes à opérateurs.

Pour tout élément ω de Ω, la transformation g ↦ gω est un endomorphisme du groupe sous-jacent G. Un tel endomorphisme est parfois appelé une homothétie du Ω-groupe G. Si G est un groupe et Ω un ensemble, la donnée d'une structure de Ω-groupe sur G équivaut à la donnée d'une famille d'endomorphismes du groupe G indexée par Ω, ou encore à la donnée d'une application de Ω dans l'ensemble des endomorphismes du groupe G.

Un groupe à opérateurs est dit commutatif, ou encore abélien, si son groupe sous-jacent est commutatif.

Un module M sur un anneau A est un cas particulier de groupe à opérateurs abélien, le groupe abélien étant le groupe additif de M, l'ensemble d'opérateurs étant A et l'action de A sur M étant la loi externe du module. Le fait que M est ainsi un groupe à opérateurs dans A tient à la distributivité de la loi externe du module par rapport à l'addition des vecteurs. Les groupes à opérateurs abéliens ne sont évidemment pas tous des modules, mais on peut ramener leur étude à celle des modules[2].

Sous-groupes stables et Ω-groupes quotients[modifier | modifier le code]

Un sous-groupe H d'un Ω-groupe (ou, plus exactement, du groupe sous-jacent) est dit stable si, pour tout élément ω de Ω et tout élément h de H, hω appartient à H. On peut alors définir l'action

et cette action fait de H un Ω-groupe. Un sous-groupe stable d'un Ω-groupe G est aussi appelé un Ω-sous-groupe de G.

Cas du groupe ordinaire : Si G est un groupe ordinaire considéré comme groupe à opérateurs dans l'ensemble vide, les sous-groupes stables de ce groupe à opérateurs sont alors les sous-groupes de G. Ici aussi, donc, une notion relative aux groupes peut être vue comme un cas particulier d'une notion relative aux groupes à opérateurs.

Si G est un Ω-groupe, le sous-groupe trivial de G (c'est-à-dire son sous-groupe réduit à l'élément neutre) et G lui-même sont des Ω-sous-groupes de G.

Soient G un Ω-groupe et H un Ω-sous-groupe de G. On dit que H est un Ω-sous-groupe normal, ou encore distingué, de G si c'est un sous-groupe normal du groupe sous-jacent de G. Dans ce cas, si ω est un élément de Ω, si g1 et g2 sont des éléments de G congrus modulo H (c'est-à-dire appartenant à une même classe modulo H), alors g1ω et g2ω sont eux aussi congrus modulo H, d'où g1ω H = g2ω H. On peut donc définir une action Ω × G/H → G/H de Ω sur le groupe quotient G/H qui, pour tout élément ω de Ω et tout élément g de G, applique (ω, gH) sur gω H. Cette action fait de G/H un Ω-groupe, appelé Ω-groupe quotient de G par H.

Homomorphismes de groupes à opérateurs[modifier | modifier le code]

Soient G et H deux Ω-groupes. (L'ensemble d'opérateurs est donc le même pour les deux groupes.) On appelle homomorphisme de groupes à opérateurs de G dans H, ou encore Ω-homomorphisme de G dans H, un homomorphisme f de groupes de G dans H tel que, pour tout élément ω de Ω et tout élément x de G, on ait f(xω) = f(x)ω. Si K est un Ω-sous-groupe normal de G, l'homomorphisme canonique de groupes de G sur G/K est un Ω-homomorphisme du Ω-groupe G sur le Ω-groupe G/K qu'on a défini plus haut.

Si f est un Ω-homomorphisme d'un Ω-groupe G dans un Ω-groupe H, le noyau de l'homomorphisme de groupes f est un Ω-sous-groupe normal de G. L'image de f est un Ω-sous-groupe de G.

Si un Ω-homomorphisme est un isomorphisme de groupes (ce qui revient à dire qu'il est bijectif), on dit que c'est un Ω-isomorphisme. L'isomorphisme de groupes réciproque est alors lui aussi un Ω-isomorphisme. Si G et H sont deux Ω-groupes et qu'il existe un Ω-isomorphisme de l'un sur l'autre, on dit que G et H sont Ω-isomorphes.

Groupe à opérateurs simple[modifier | modifier le code]

Un groupe à opérateurs est dit simple s'il n'est pas réduit à l'élément neutre et s'il n'a pas d'autre sous-groupe stable normal que lui-même et son sous-groupe réduit à l'élément neutre. Pour insister sur le fait qu'un Ω-groupe est supposé simple comme Ω-groupe et non forcément comme groupe, on dit volontiers qu'il est Ω-simple[3]. Si un Ω-groupe est simple comme groupe, il est Ω-simple, mais la réciproque n'est pas vraie[4].

Généralisation de théorèmes classiques[modifier | modifier le code]

Théorèmes d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Ces notions permettent d'étendre de façon évidente les théorèmes d'isomorphisme aux groupes à opérateurs[5].

Théorème de Jordan-Hölder[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Jordan-Hölder.

Le théorème de Jordan-Hölder s'étend aux groupes à opérateurs. Ainsi étendu, il permet par exemple de prouver que deux bases finies d'un même espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments.

Longueur d'un groupe à opérateurs[modifier | modifier le code]

Appelons suite de composition[6] d'un Ω-groupe G toute suite finie (G0, G1, … , Gr) de Ω-sous-groupes de G telle que

et que, pour tout i∈{0, 1, … , r – 1}, Gi + 1 soit sous-groupe normal (et donc Ω-sous-groupe normal) de Gi. Appelons alors r la longueur de cette suite. On définit[7] la longueur du Ω-groupe G comme étant la borne supérieure (parmi les cardinaux, finis ou infinis) des entiers naturels n tels que G admette une suite de composition strictement décroissante de longueur n.

La longueur de G est finie si et seulement si G admet une suite de Jordan-Hölder, auquel cas la longueur de G est égale à la longueur de ses suites de Jordan-Hölder. Dans le cas contraire, la longueur de G est égale au plus petit cardinal infini (cardinal de l'ensemble des nombres naturels). Si G est un Ω-groupe et H un Ω-sous-groupe normal de G, la longueur de G est la somme des longueurs des Ω-groupes H et G/H[8].

Histoire[modifier | modifier le code]

Selon une note de Garrett Birkhoff, la notion de groupe à opérateurs fut développée par Emmy Noether et ses collaborateurs[9].

Dans une publication de 1925, W. Krull définit les groupes à opérateurs, mais en se limitant aux groupes à opérateurs abéliens. Il les appelle "groupes abéliens généralisés[10]".

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les définitions données dans le présent article sont conformes, les unes à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, , chap. 1, p. I.29 et ss., les autres à (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, (1re éd. 1978), p. 137 et ss.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, ch. 3, Paris, Hermann, 1970, p. III. 21.
  3. Voir par exemple Rose 1994, p. 140.
  4. Voir un contre-exemple dans Rose 1994, p. 140.
  5. Voir par exemple (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, (1re éd. 1964), p. 41-42.
  6. Cette appellation est conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I. 39.
  7. Cette définition est conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I. 42.
  8. Voir N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, prop. 10, p. I. 42.
  9. Garrett Birkhoff, Lattice Theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25, 3e édition, 1967, partiellement consultable sur Google livres, p. 160. Birkhoff renvoie à W. Krull, Mathematische Zeitung, vol. 23 (1925), p. 161-196, et à van der Waerden, Moderne Algebra, § 38 et ss.
  10. W. Krull, « Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen », Mathematische Zeitschrift, vol. 23 (1925), p. 161-196, consultable sur le site de l'université de Göttingen.