Tétraèdre orthocentrique

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En géométrie, un tétraèdre orthocentrique, est un tétraèdre où les quatre hauteurs concourent en un même point, désigné alors comme l'orthocentre du tétraèdre, Il a été étudié pour la première fois par Simon Lhuilier en 1782 [1], puis par G. de Longchamps en 1890, qui lui a donné son nom [2].

Le tétraèdre régulier, et le tétraèdre trirectangle en sont des cas particuliers.

Tetraortho.gif

Caractérisations[modifier | modifier le code]

Orthogonalité des arêtes opposées[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.

Pieds des hauteurs[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si les pieds des quatre hauteurs sont les orthocentres des faces, et il suffit qu'un pied de hauteur le soit pour que le tétraèdre soit orthocentrique.

On obtient donc un tétraèdre orthocentrique quelconque en partant d'un triangle et en prenant le quatrième sommet sur la perpendiculaire au plan de ce triangle passant par l'orthocentre.

Parallélépipède circonscrit[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre ABCD et son parallélépipède circonscrit. a pour coordonnées barycentriques dans , et ainsi de suite.

On peut inscrire un tétraèdre dans le parallélépipède dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées.

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ce parallélépipède circonscrit a ses arêtes de même longueur, autrement dit est un rhomboèdre.

En effet, dans le tétraèdre, deux arêtes opposées sont orthogonales si et seulement si les faces correspondantes du parallélépipède circonscrit sont des losanges (car un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont orthogonales). Si quatre faces d'un parallélépipède sont des losanges, alors toutes les arêtes ont des longueurs égales et les six faces sont des losanges ; il s'ensuit que si deux paires d'arêtes opposées dans un tétraèdre sont formées d'arêtes orthogonales, alors la troisième paire a la même propriété et le tétraèdre est orthocentrique.

Relation métrique[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre ABCD est orthocentrique si et seulement si la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour les trois paires d'arêtes opposées : [3],[4]

En fait, il suffit que seulement deux paires d'arêtes opposées satisfassent cette condition pour que le tétraèdre soit orthocentrique.

Bimédianes[modifier | modifier le code]

Un tétraèdre est orthocentrique si et seulement si ses trois bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées) ont la même longueur [4].

En effet, les bimédianes sont les segments joignant les centres de deux faces opposées du parallélépipède circonscrit, lesquels ont même longueur que les arêtes qui leur sont parallèles ; elles sont donc de même longueur si et seulement si les arêtes du parallélépipède ont même longueur.

Les extrémités des bihauteurs sont les pieds des hauteurs des faces.

Bihauteurs[modifier | modifier le code]

Dans un tétraèdre orthocentrique, les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) concourent à l'orthocentre.

Réciproquement, un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est orthocentrique, équifacial, ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales [5],[6],[7].

Point de Monge et droite d'Euler[modifier | modifier le code]

Théorème dû à Monge :

Dans un tétraèdre quelconque, les six plans passant par le milieu d'une arête et orthogonaux à l'arête opposée passent par un même point M qui est le symétrique du centre O de la sphère circonscrite par rapport au centre de gravité G.

Si le tétraèdre n'est pas équifacial, auquel cas O = G, ces trois points sont donc alignés sur une droite, dite d'Euler par analogie avec le cas du triangle. Et lorsque le tétraèdre est orthocentrique, le point de Monge coïncide avec l'orthocentre [8],[9].

Intersection de la première sphère avec une face.

Sphères d'Euler[modifier | modifier le code]

Première sphère d'Euler[modifier | modifier le code]

Les quatre milieux des arêtes, et les huit pieds des perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont douze points d'une même sphère de centre G. Les intersections de la sphère avec les faces sont leurs cercles d'Euler [10].

Droite d'Euler avec les points remarquables . Le point ajouté est le point de concours des perpendiculaires aux plan des faces en leur centre de gravité.

Deuxième sphère d'Euler[modifier | modifier le code]

Les quatre points situés au tiers des segments joignant H aux sommets, les quatre pieds des hauteurs, et les quatre centres de gravité des faces sont douze points d'une même sphère centrée sur la droite d'Euler en O' vérifiant . Elle est l'image de la sphère circonscrite par l'homothétie de centre G et de rapport -1/3 [10].

Volume du tétraèdre orthocentrique[modifier | modifier le code]

Une première formule est

a, b sont les longueurs de deux arêtes opposées, et leur distance.

La caractérisation concernant les arêtes implique que si seulement quatre des six arêtes d'un tétraèdre orthocentrique sont de longueur connue, les longueurs des deux autres peuvent être calculées si elles ne sont pas opposées l'une à l'autre. Par conséquent, le volume d'un tétraèdre orthocentrique peut être exprimé en termes de quatre longueurs d'arêtes a, b, c, a' . La formule est [11]

a, b, c sont les longueurs des arêtes d'une même face, le demi-périmètre de cette face, et a' la longueur de l'arête opposée à celle de longueur a.

Voir également[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. A. Court, « Notes on the Orthocentric Tetrahedron », The American Mathematical Monthly, vol. 41, no 8,‎ , p. 499-502 (lire en ligne Accès payant)
  2. G. de Longchamps, « Le tétraèdre orthocentrique », Mathesis,‎ , p. 50 (lire en ligne Accès limité)
  3. Reiman, István, "International Mathematical Olympiad: 1976-1990", Anthem Press, 2005, pp. 175-176.
  4. a et b Hazewinkel, Michiel, "Encyclopaedia of mathematics: Supplement, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, p. 468.
  5. E. Ehrhart, Articles de mathématiques : Sur les tétraèdres dont les perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont concourantes, Cedic/Nathan, , p. 75-76
  6. E. Ehrhart, « Sur le triangle et le tétraèdre », Bulletin de l'APMEP, no 381,‎ , p. 621 (lire en ligne)
  7. Bertrand Gambier, « Sur les tétraèdres dont certaines bihauteurs se rencontrent », Bulletin de la S. M. F., vol. 76,‎ , p. 79-94 (lire en ligne)
  8. Victor Thébault, Parmi les belles figures de la géométrie dans l'espace : géométrie du tétraèdre, Paris, Librairie Vuibert, (lire en ligne), p. 2 - 10
  9. Tristan Deray, « Point de Monge au lycée, plaisir et délectation géométrique. », Feuille de vigne,‎ , p. 15-20 (lire en ligne)
  10. a et b Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, , p. 315-317
  11. Andreescu, Titu and Gelca, Razvan, "Mathematical Olympiad Challenges", Birkhäuser, second edition, 2009, pp. 30-31, 159.