Coordonnées trilinéaires

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Les coordonnées trilinéaires du point intérieur sont ici données par les distances (a' , b' , c' ), ou de façon équivalente, ka' :kb' :kc' pour toute constante k positive.

En géométrie, les coordonnées trilinéaires d'un point relativement à un triangle donné, notées x:y:z décrivent les distances algébriques relativement aux côtés (étendus) du triangle. Elles sont un exemple de coordonnées homogènes. Pour un triangle ABC, le rapport x:y est le rapport des distances du point aux côtés BC et AC respectivement ; le rapport y:z est le rapport des distances du point aux côtés AC et AB respectivement ; enfin, le rapport x:z est le rapport des distances du point aux côtés BC et AC respectivement.

Les coordonnées trilinéaires indiquent si le point est intérieur au triangle par rapport à un côté : selon que le point est situé à l'intérieur, sur la droite ou à l'extérieur, la coordonnée correspondante sera positive, nulle ou négative. Il est donc impossible d'avoir trois coordonnées négatives.

Notation[modifier | modifier le code]

La notation x:y:z des coordonnées trilinéaires est plus souple qu'une notation par triplet (a' , b' , c' ), qui n'a de sens que pour les distances exactes ; on peut ainsi écrire x : y : z = 2x : 2y : 2z mais pas (x, y, z) = (2x, 2y, 2z).

Exemples[modifier | modifier le code]

Pour un triangle ABC de côtés de longueur BC=a, AC=b, AB=c, on peut donner quelques cas particuliers de coordonnées triangulaires :

  • A = 1 : 0 : 0
  • B = 0 : 1 : 0
  • C = 0 : 0 : 1
  • milieu de AB = bc : ca : 0
  • milieu de AC = bc : 0 : ab
  • milieu de BC = 0 : ca : ab
  • centre du cercle inscrit = 1 : 1 : 1
  • centre de gravité = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C.
  • centre du cercle circonscrit = cos A : cos B : cos C.
  • orthocentre = sec A : sec B : sec C.
  • centre du cercle d'Euler = cos(BC) : cos(CA) : cos(AB).
  • point symédian = a : b : c = sin A : sin B : sin C.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]