Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

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Les 3 cercles exinscrits d'un triangle et son cercle inscrit.

Étant donnés trois points non alignés A, B et C du plan, il existe quatre cercles tangents aux trois droites (AB), (AC) et (BC). Ce sont le cercle inscrit (celui qui est intérieur au triangle) et les cercles exinscrits du triangle ABC.

Bissectrices[modifier | modifier le code]

Un cercle tangent aux trois droites (AB), (BC), (CA) doit posséder un centre équidistant de ces trois droites. Or l'ensemble des points équidistants de deux droites sécantes (d1) et (d2) forme deux droites perpendiculaires, constituées des quatre demi-droites bissectrices chacune d'un des quatre secteurs angulaires construits par les droites (d1) et (d2), et appelées bissectrices des droites (d1) et (d2).

Si on considère les trois côtés du triangle en tant que droites, on dispose en tout de six bissectrices, deux pour chaque couple de droites. Par chacun des sommets du triangle, passe une bissectrice intérieure (qui rencontre le côté opposé du triangle) et une bissectrice extérieure.

Si une bissectrice issue de A rencontre une bissectrice issue de B alors le point d'intersection, étant équidistant de (AB) et (AC) et équidistant de (BA) et (BC), est à égale distance de (CA) et (CB) et appartient donc à l'une (et une seule) des bissectrices issues de C. Il y a donc quatre points de concours possibles.

Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.

Cas du cercle inscrit. Les bissectrices intérieures issues de A et B se coupent à l'intérieur des secteurs angulaires (BAC) et (ABC), c'est-à-dire dans le triangle (ABC). Le point d'intersection est donc sur la bissectrice intérieure issue de C et plus exactement sur la demi-droite bissectrice du secteur angulaire (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. C'est le cercle inscrit.

Cas des cercles exinscrits. Les bissectrices extérieures issues de A et de B se coupent dans le secteur angulaire (ACB) et rencontrent donc, eux aussi, la demi-droite bissectrice de l'angle (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent au segment [AB] et aux demi-droites d'origines A et B, de supports (AC) et (BC) et ne contenant pas C. C'est un cercle exinscrit au triangle. Un raisonnement analogue peut être fait pour les deux autres couples de bissectrices extérieures.

Notation : dans cet article, a la longueur du côté BC, b la longueur du côté AC et c la longueur du côté AB. Enfin O désigne le centre du cercle inscrit et OA, OB et OC les trois centres des cercles exinscrits compris dans les secteurs angulaires issus respectivement de A, B, C.

Cercle inscrit[modifier | modifier le code]

Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle de centre O est appelé « cercle inscrit » dans le triangle.

Le cercle inscrit à un triangle est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle. Son centre est le barycentre des points (A,a) , (B,b) , (C,c) et est de coordonnées trilinéaires par rapport aux sommets 1 : 1 : 1. Son rayon est égal à

r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2S}{p}

S désigne la surface du triangle et p son périmètre. Son centre est le point d'intersection des bissectrices.

Point de Gergonne[modifier | modifier le code]

Notons respectivement TA, TB et TC les points de contact du cercle inscrit avec les côtés [BC], [AC] et [AB].

Pour chacun des sommets du triangle, les tangentes déterminent deux segments, du sommet aux points de contact, de longueurs égales : TCA=TBA ainsi que TAB=TCB et TAC=TBC.

Le produit des rapports \frac{T_CA}{T_CB}\times \frac{T_AB}{T_AC} \times \frac{T_BC}{T_BA} est donc égal à 1.

D'après le théorème de Ceva ces trois céviennes sont concourantes en un point Ge qui s'appelle le point de Gergonne du triangle et le triangle TA TB TC s'appelle le triangle de contact (ou triangle de Gergonne) du triangle ABC.

Ge est le point de Gergonne d'un triangle.

On peut citer une propriété des angles du triangle de contact : l'angle à l'un des sommets du triangle de Gergonne est égal à l'angle entre les deux bissectrices issues des sommets du triangle initial formant le côté où se trouve le sommet du triangle de Gergonne.

Angles du triangle de Gergonne.JPG

Les intersections des bissectrices et des côtés du triangle de contact permettent de construire trois droites orthogonales aux bissectrices. Démonstration : [1].

L'intersection des bissectrices avec les côtés du triangle de contact présente des caractéristiques particuliéres

Cercles exinscrits[modifier | modifier le code]

Il y a donc trois cercles exinscrits : chacun est tangent à un unique côté du triangle (considéré comme un segment). Nous nommons CA le cercle exinscrit touchant le côté [CB], CB le cercle exinscrit touchant le côté [AC] et CC le cercle exinscrit touchant le côté [AB].

Les rayons des cercles exinscrits sont respectivement r_A = \frac{2S}{-a+b+c}, r_B = \frac{2S}{a-b+c} et r_C = \frac{2S}{a+b-c}


 \frac{1}{r_A}+ \frac{1}{r_B} + \frac{1}{r_C}= \frac{p}{2S} = \frac{1}{r}


Leurs centres sont barycentres des points (A,-a), (B,b), (C,c) pour le premier, (A,a), (B,-b), (C,c) pour le second et (A,a), (B,b), (C,-c) pour le troisième.

Point de Nagel[modifier | modifier le code]

Notons UA le point de contact de CA avec [CB], UB le point de contact de CB avec [AC] et UC le point de contact de CC avec [AB].

Alors les droites (AUA), (BUB) et (CUC) sont concourantes : leur point d'intersection Na s'appelle le point de Nagel (de) du triangle. On appelle le triangle UAUBUC le triangle de Nagel du triangle ABC.

Point de Nagel d'un triangle.

Point de Bevan[modifier | modifier le code]

Les droites (OAUA), (OBUB) et (OCUC) sont également concourantes : leur point d'intersection Be s'appelle le point de Bevan du triangle ABC et le triangle OAOBOC s'appelle le triangle de Bevan de ABC.

Le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit dans ABC, par rapport au centre du cercle circonscrit à ABC. Le point de Bevan et ces deux centres sont donc alignés.

Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan.

Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont homothétiques.

Point et triangle de Bevan.


Point d'Apollonius[modifier | modifier le code]

Il existe un unique cercle tangent simultanément aux trois cercles exinscrits et qui les contiennent (voir Problème des contacts) ; c'est le cercle d'Apollonius du triangle. Si on note VA, VB et VC les trois points de tangence alors les droites (AVA), (BVB) et (CVC) sont concourantes : leur point d'intersection Ap) s'appelle le point d'Apollonius du triangle.

Point d'Apollonius d'un triangle.

Mittenpunkt[modifier | modifier le code]

On appelle le mittenpunkt du triangle ABC le point de concours des droites reliant les centres OA, OB, OC des trois cercles exinscrits aux milieux respectifs des côtés du triangle.

Mittenpunkt 1.JPG

Le mittenpunkt Mi est situé sur la droite reliant le centre de gravité G au point de Gergonne Ge avec la relation MiGe= 3MiG.

Le mittenpunkt est également le point de Lemoine du triangle de Bevan OAOBOC, triangle formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits.

Il est le centre de l'ellipse de Mandart inscrite dans le triangle et tangente aux points de contact des cercles exinscrits.

Mittenpunkt particularités.JPG

Points de Feuerbach[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Feuerbach.

Les trois cercles exinscrits et le cercle inscrit sont tangents au cercle d'Euler du triangle ABC. Les points de contact Fe, FAe, FBe, FCe de ces cercles s'appellent les points de Feuerbach du triangle. Ce résultat constitue le théorème de Feuerbach.

Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach FAeFBeFCe du triangle ABC.

Triangle de Feuerbach.

Soit S le point de concours des droites AFAe, BFBe, CFCe. Alors le point S, le centre du cercle inscrit, le centre du cercle d'Euler et le point de Feuerbach Fe sont alignés et en division harmonique .

Le point S, les centres I et J et le point de Feuerbach Fe sont alignés.

Le cercle passant par les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC passe aussi par le point de Feuerbach Fe.

Le cercle, circonscrit au triangle formé par les pieds des bissectrices, passe par le point de Feuerbach Fe.

Le point de Feuerbach Fe est le centre de symétrie d'une hyperbole équilatère (dite hyperbole de Feuerbach) passant en particulier par :

  • les 3 sommets du triangle,
  • l'orthocentre
  • le centre du cercle inscrit
  • le point de Gergonne
  • le point de Nagel
  • le Mittenpunkt
Feuerbach hyperbole.JPG

Références bibliographiques[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]