Espace de Banach

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de (en général, K = ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle.

Caractérisation par les séries[modifier | modifier le code]

Un espace vectoriel normé E est un espace de Banach si et seulement si toute série absolument convergente de cet espace est convergente.

En effet, si E est complet alors toute série absolument convergente converge (car ses sommes partielles forment une suite de Cauchy) et réciproquement, si dans E toute série absolument convergente est convergente alors, pour toute suite de Cauchy (xn), soit (sn) une sous-suite telle que ║sn+1sn║ ≤ 2n ; la série de terme général sn+1sn est absolument convergente donc convergente, autrement dit la sous-suite (sn) converge, donc la suite (xn) aussi, ce qui prouve que E est complet. Ou encore (par contraposée) : si E n'est pas complet, soient x un vecteur qui n'appartient pas à E mais seulement à son complété et (xn) une suite dans E telle que ║xxn║ ≤ 2n, alors la série de terme général xn+1xn est absolument convergente, mais sa somme dans le complété, x – x0, n'appartient pas à E.

Exemples[modifier | modifier le code]

Théorème de l'application ouverte et ses variantes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Banach-Schauder.

Soient E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E dans F.

Propriété des fermés emboîtés[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème des fermés emboités.

Comme tout espace métrique complet, un espace de Banach vérifie la propriété suivante :

Soit une suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer que tout espace métrique complet (en particulier tout espace de Banach) est de Baire, et d'en déduire le théorème de Banach-Steinhaus ci-dessous.

Théorème de Banach-Steinhaus[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Banach-Steinhaus.

Soient E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. Soit \scriptstyle(u_i)_{i\in I} une famille d'éléments de ℒ(E,F) et soit A l'ensemble des vecteurs x de E tels que \scriptstyle\sup_{i\in I} \|u_i(x)\| < + \infty . Alors, ou bien A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, ou bien \scriptstyle\sup_{i\in I} \| u_i \| < + \infty  . En particulier, si A = E, seule la seconde éventualité est possible (la dernière norme utilisée est la norme d'opérateur (ou norme subordonnée)).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]