Application linéaire continue

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En mathématiques, une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F définis sur le corps des réels ou des complexes est continue si E et F sont de dimension finie, ce qui fait que dans le contexte typiquement algébrique des espaces de dimension finie, la question de la continuité d'une application linéaire ne se pose pas ; en revanche, si E et F sont, par exemple, des espaces vectoriels normés quelconques, ce n'est plus vrai, et il y a donc lieu de préciser ce qu'on entend par une application linéaire continue. Parmi les applications linéaires, celles qui sont continues sont les seules intéressantes en analyse fonctionnelle. Il importe également, de manière à pouvoir définir la notion de convergence vers 0 d'une suite d'applications linéaires continues , de munir l'espace des applications linéaires continues d'une topologie. En réalité, plusieurs topologies, plus ou moins fines, sont possibles. Déjà quand on considère des formes linéaires continues sur un espace vectoriel normé E, c'est-à-dire des applications linéaires continues de E dans le corps de base K (corps des nombres réels ou complexes), ces formes constituent le dual topologique de E, noté E' ; cet espace peut être muni de diverses topologies, dont les plus importantes sont la « topologie forte » et la « topologie *-faible » ; cette dernière ne peut plus être définie par une norme et nécessite de se placer dans le cadre plus général des espaces localement convexes. Cela vaut encore dans le cas d'espaces d'applications linéaires continues à valeurs, par exemple, dans un espace vectoriel normé : l'étude des différentes topologies qu'on peut définir sur ces espaces rend nécessaire le cadre des espaces localement convexes. Cela est d'autant plus vrai que les développements de l'analyse fonctionnelle depuis le début des années 1950 (la théorie des distributions, notamment), n'a pu se faire qu'en sortant du cadre des espaces vectoriels normés pour se placer dans celui des espaces localement convexes ; néanmoins, comme on va le voir, la théorie dans le cas localement convexe général est assez complexe, et se simplifie beaucoup dans celui des espaces tonnelés et semi-complets, comme sont la quasi-totalité des espaces rencontrés en analyse fonctionnelle. En liaison étroite avec l'étude des espaces d'applications linéaires continues vient celle des applications bilinéaires continues et la notion importante d'hypocontinuité, due à Nicolas Bourbaki[1].

Applications linéaires sur un espace de dimension finie[modifier | modifier le code]

Le cas des espaces vectoriels normés[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux espaces vectoriels sur le corps K des réels ou des complexes et u une application linéaire de E dans F ; supposons E de dimension finie et F muni d'une norme. Soit une base de E et un élément quelconque de E. On a

.

On peut choisir sur E une infinité de normes, toutes équivalentes. L'une d'elles est . Avec ce choix, on obtient avec En conséquence, si est une suite de points de E tendant vers 0, tend vers 0, ce qui montre que u est continue. On définit la norme de u :


(les deux dernières égalités sont faciles à vérifier ; de même, il est facile de montrer que l'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel et que par la première égalité on définit bien une norme sur cet espace).

Le cas des espaces vectoriels topologiques[modifier | modifier le code]

Soit maintenant E et F deux espaces vectoriels topologiques à gauche sur un corps valué non discret K et u une application linéaire de E dans F. Supposons E de dimension finie et K complet. On montre par récurrence que E est isomorphe au produit Kn, où n est la dimension de E, et on en déduit que u est continue. L'ensemble des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel sur le centre de K.

Remarque[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel topologique (non réduit à 0) sur un corps valué complet et non discret K. Les conditions suivantes sont équivalentes (théorème de Riesz) :

(a) K est localement compact et E est séparé et de dimension finie sur K ;
(b) E est localement compact.

Applications linéaires continues : généralités[modifier | modifier le code]

Cas des espaces vectoriels normés[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux espaces vectoriels normés sur le corps K des réels ou des complexes. Le raisonnement fait plus haut ne s'applique plus si E n'est pas de dimension finie, et une application linéaire u de E dans F peut ne pas être continue. Elle est continue si, et seulement si

 ;

cette quantité est alors appelée la norme de u, et notée . Comme plus haut, on vérifie sans difficulté que l'ensemble des applications linéaires continues de E dans F est un espace vectoriel et que l'on a défini une norme sur cet espace. Cet espace est toutefois à distinguer de l'espace des applications linéaires de E dans F. On a évidemment .

On montre que si F est complet, , muni de la norme ci-dessus, est également complet (et est donc un espace de Banach).

Cas des espaces vectoriels topologiques[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux espaces vectoriels topologiques à gauche sur un corps topologique K, de centre C. On note de nouveau le C-espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F et le C-espace vectoriel des applications linéaires de E dans F. On a .

Soit . Alors u est continue (i.e. ) si, et seulement si elle est continue en 0 c'est-à-dire : pour tout voisinage V de 0 dans F, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que pour tout .

Soit H une partie de . Alors H est équicontinue si, et seulement si pour tout voisinage V de 0 dans F, il existe un voisinage U de 0 dans E tel que pour tout .

Proposition —  (1) Supposons que K soit un corps valué non discret. Soit une application linéaire continue. L'image par u d'un ensemble borné dans E est un ensemble borné dans F.

(2) Réciproquement, supposons que K soit le corps des réels et des complexes, E un espace bornologique et F un espace localement convexe. Si l'image par u de toute partie bornée de E est bornée dans F, alors u est continue.

Démonstration de (1)[2] : soit B une partie bornée dans E et V un voisinage de 0 dans F. Puisque u est continue, u−1(V) est un voisinage U de 0 dans E. Et puisque B est borné dans E, cet ensemble est absorbé par tout voisinage de 0 ; par suite, il existe tel que pour . Mais on a alors , par conséquent u(B) est une partie bornée de F.

Applications linéaires continues dans les espaces localement convexes[modifier | modifier le code]

Topologies sur les espaces d'applications linéaires continues[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux espaces localement convexes sur le corps des réels ou des complexes. Soit une bornologie sur E. La -topologie sur est la topologie de la convergence uniforme sur les parties de . Elle est localement convexe et coïncide avec la -topologie où est la plus petite bornologie adaptée à E contenant .

Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, toutes les bornologies de E sont adaptées; quand cela ne sera pas le cas, la plus petite bornologie adaptée à E contenant sera notée . Par conséquent, (ou, à défaut, ) est un espace disqué.

Article détaillé : Espace disqué.

Soit p une semi-norme continue sur F, , et pour toute application ,

.

Si est un système fondamental de semi-normes sur F, les , où p parcourt et M parcourt , constituent une famille de semi-normes sur qui en font un espace localement convexe noté . Cet espace est séparé si F est séparé.

Définition — La topologie de appelée la « -topologie » de  ; c'est la topologie de la convergence uniforme sur les éléments de .

Soit , V un voisinage de 0 dans F, et

.

Les ensembles forment un système fondamental de voisinages de 0 pour la -topologie de .

On a (en d'autres termes, la bornologie est plus fine que la bornologie ) si, et seulement si la -topologie de est moins fine que sa -topologie.

  • Les bornologies les plus courantes sur E sont :

Les bornologies les plus usuelles dont les suivantes :

(1) , ensemble des parties finies de E. La topologie est appelée la topologie faible de . On précise parfois qu'il s'agit de la « topologie *-faible » pour la distinguer de la « topologie faible » . La bornologie n'est pas adaptée à E, et est la bornologie adaptée la plus fine, constituée des ensembles A inclus dans un sous-espace de dimension finie et bornés dans cet espace.
(2) , ensemble des parties convexes compactes de E, si E est séparé.
(3) , ensemble des parties compactes de E, si E est séparé.
(4) , ensemble des parties relativement compactes de E, si E est séparé.
(5) , ensemble des parties précompactes de E.
(6) , ensemble des parties bornées de E. Cette bornologie est dite canonique, et la topologie est appelée la topologie forte de .

Les -topologies ci-dessus vont de la moins fine à la plus fine (tandis que les bornologies vont de la plus fine à la moins fine).

  • Si E est le dual d'un espace localement convexe G : , on peut également considérer les bornologies constituées des sous-ensembles suivants de E :
(a) les ensembles équicontinus ;
(b) les ensembles dont l'enveloppe équilibrée fermée convexe est compacte pour la topologie *-faible  ;
(c) les ensembles relativement compacts pour la topologie *-faible (on dit encore : les ensembles *-faiblement relativement compacts) ;
(c') les ensembles fortement bornés ;
(d) les ensembles *-faiblement bornés (ou, de manière équivalente, les ensembles *-faiblement précompacts).

On a les résultats suivants[3],[4] :

* Dans le cas général, (a) (b) (c) (d), (b) (c') (d).
* Les cas particuliers sont : (a) = (b) si, et seulement si G est un espace de Mackey, (a) = (c') si, et seulement si G est un espace infratonnelé (une condition suffisante pour qu'on ait cette égalité est donc que G soit bornologique), (b) = (d) si, et seulement si est quasi-complet pour la topologie *-faible , (c') = (d) si G est semi-réflexif ou semi-complet (en particulier, si G est quasi-complet), (a) = (d) si, et seulement si G est un espace tonnelé (théorème de Banach-Steinhaus : voir infra).
* En outre, si G est un espace localement convexe tonnelé et semi-complet, les ensembles ci-dessus coïncident avec :
(e) les ensembles bornés pour la -topologie de , pour toute bornologie vectorielle couvrante formée de parties bornées de G.

Notons qu'il est peu contraignant de supposer G tonnelé, car la quasi totalité des espaces fonctionnels rencontrés en pratique ont cette propriété (et dans ce cas, toutes les bornologies ci-dessus coïncident). De plus, ils sont le plus souvent complets.

Parties équicontinues de [modifier | modifier le code]

Proposition — Soit E et F deux espaces localement convexes, F étant séparé, et H une partie équicontinue de .

(1) Dans H, les structures uniformes suivantes coïncident :
(a) celle de la convergence simple ;
(b) celle de la convergence uniforme dans les parties précompactes de E.
(2) Si un filtre sur H converge simplement vers une application de E dans F, alors et converge uniformément vers dans toute partie précompacte de E.
(3) Supposons l'ensemble des applications de E dans F muni de la topologie de la convergence simple. Alors l'adhérence de H dans est contenue dans et est équicontinue.

((1) et (2) sont des propriétés générales des ensembles uniformément équicontinus d'applications, et (3) en est une conséquence.)

Théorème de Banach-Steinhaus[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Banach-Steinhaus.

Le théorème de Banach-Steinhaus fait toute l'importance des espaces tonnelés. Il peut en effet s'énoncer comme suit :

Théorème —  Soit E un espace tonnelé et F un espace localement convexe.

(a) Toute partie simplement bornée de est équicontinue.

(b) Soit une suite d'éléments de convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors , et converge uniformément vers u sur toute partie précompacte de E.

(c) Soit un filtre sur , contenant une partie simplement bornée ou à base dénombrable, et convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors et converge uniformément vers u dans toute partie précompacte de E.

Propriétés de [modifier | modifier le code]

Rappelons que les bornologies considérées sur E sont adaptées.

  • Toute partie équicontinue de est bornée pour toute -topologie.
  • Si F est séparé, l'est aussi.
  • Si E est séparé et semi-complet, toute partie simplement bornée de est bornée pour la -topologie (dans ce cas, on peut donc parler des parties bornées de , sans qu'il y ait ambiguïté, et ces parties bornées sont identiques aux parties équicontinues si E est tonnelé, d'après le théorème de Banach-Steinhaus).
  • Si E est tonnelé et F est quasi-complet, alors est quasi-complet[5].
  • Si E est bornologique, F est séparé et quasi-complet (resp. complet), et les éléments contiennent l'image de toute suite tendant vers 0, alors est quasi-complet (resp. complet)[6].

. La condition sur est vérifiée, notamment, si les éléments de sont les parties précompactes ou les parties bornées de E. En particulier, si E est métrisable et F est un espace de Fréchet, alors est complet (mais n'est pas, en général, un espace de Fréchet ; en particulier, est un espace (DF), et est un espace de Fréchet si, et seulement si E est un espace vectoriel normé, auquel cas est un espace de Banach).

Applications bilinéaires hypocontinues[modifier | modifier le code]

Applications bilinéaires séparément continues[modifier | modifier le code]

Soit E, F et G trois espaces vectoriels topologiques sur un corps commutatif valué non discret K et B une application bilinéaire de dans G. On peut considérer les deux applications partielles et pour tous . Ces deux applications partielles sont linéaires, et on dit que B est séparément continue si ces deux applications linéaires partielles sont continues pour tout . L'ensemble des applications bilinéaires séparément continues de dans G est un K-espace vectoriel noté .

Applications bilinéaires continues[modifier | modifier le code]

Sous les mêmes hypothèses que ci-dessus, on définit une application bilinéaire continue B au point en munissant de la topologie produit. On montre que B est continue en si, et seulement si elle est continue en .

La plupart des applications bilinéaires que l'on rencontre en pratique sont séparément continues ; en revanche, une application séparément continue n'est pas continue en général, et la continuité d'une application bilinéaire est une condition forte. Toutefois[7],[8] :

Théorème — Soit E et F et G trois espaces localement convexes sur le corps des réels ou des complexes et B une application bilinéaire séparément continue de dans G. Alors B est continue dans les cas suivants :

(a) E et F sont métrisables et l'un de ces deux espaces est tonnelé ;

(b) E et F dont les duals forts d'espaces de Fréchet réflexifs et G est séparé.

L'ensemble des applications bilinéaires continues de dans G est un K-espace vectoriel noté .

Dans le cas où E, F et G sont des espaces vectoriels normés sur le corps des réels ou des complexes, une application bilinéaire B de dans G est continue si, et seulement si

.

Dans ce cas, la quantité ci-dessus est appelée la norme de B et est notée . Elle fait de un espace vectoriel normé, qui est un espace de Banach si G est un espace de Banach.

Hypocontinuité[modifier | modifier le code]

La notion d'application bilinéaire hypocontinue est intermédiaire entre la notion d'application bilinéaire séparément continue et celle d'application bilinéaire continue. Cette notion est très souple, comme on va le voir.

Soit E, F et G trois espaces localement convexes et B une application bilinéaire de dans G. Soit une bornologie adaptée de E. L'application B est dite -hypocontinue si elle est séparément continue et si pour tout voisinage W de 0 dans G et tout ensemble , il existe un voisinage V de 0 dans F tel que . Si est l'ensemble des parties bornées de E, B est dite hypocontinue si elle est -hypocontinue.

On voit immédiatement que B est -hypocontinue si, et seulement si l'application linéaire est continue.

Si est une bornologie de F, on définit de même une application bilinéaire -hypocontinue de dans G. Enfin, on dira qu'une application bilinéaire est (,)-hypocontinue si elle est -hypocontinue et -hypocontinue ; elle est alors uniformément continue dans pour tous et . Si B est (,)-hypocontinue où (resp. ) est l'ensemble des parties bornées de E (resp. de F), elle est dite hypocontinue.

Dans le cas où E, F et G sont des espaces vectoriels normés, une application bilinéaire de dans G est hypocontinue si, et seulement si elle est continue (voir supra).

En prenant pour l'ensemble des parties finies de F, B est (,)-hypocontinue si, et seulement si elle est -hypocontinue. Si de plus est l'ensemble des parties finies de E, cela revient à dire qu'elle est séparément continue.

Théorème — Soit R, S, T trois espaces localement convexes séparés. On suppose munis tous trois de la topologie de la convergence simple (resp. compacte, bornée). Alors l'application bilinéaire de dans est -hypocontinue, lorsque est l'ensemble des parties équicontinues de , et l'ensemble des parties finies (resp. des parties compactes, des parties bornées) de . En particulier, pour toute partie équicontinue de , l'application bilinéaire de dans est continue.

Lorsque R, S et T sont des espaces vectoriels normés, et lorsque sont munis tous trois de leur structure canonique d'espace vectoriel normé, l'application bilinéaire de dans est continue de norme égale à 1. En particulier, est une algèbre normée, et une algèbre de Banach si R est un espace de Banach.

Le théorème de Banach-Steinhaus implique le résultat suivant[9] :

Proposition — Soit E, F et G des espaces localement convexes. Si F est tonnelé, toute application séparément continue de dans G est -hypocontinue, pour toute bornologie adaptée de E.

Notons encore le résultat suivant[10]:

Théorème — Soit E, F des espaces (DF), G un espace localement convexe, une application bilinéaire. Alors u est continue si, et seulement si elle est hypocontinue.

De la proposition et du théorème ci-dessus, on déduit le corollaire ci-dessous, plus général que la partie (b) du théorème qui précède:

Corollaire — Soit E et F des espaces localement convexes métrisables, F étant distingué, et soit G un espace localement convexe. Alors une application bilinéaire (où et sont les duals forts de E et F) est séparément continue si, et seulement si elle est continue.

Espaces d'applications bilinéaires hypocontinues[modifier | modifier le code]

Soit E, F et G trois espaces localement convexes, et considérons l'espace des applications bilinéaires séparément continues des dans G. On peut munir cet espace de la topologie de la convergence uniforme sur les éléments de , où et sont des bornologies adaptées de E et F respectivement. Cette topologie est localement convexe si pour toute application , l'image par B d'un élément quelconque de est une partie bornée de G[11].

Cette condition est vérifiée si les applications de sont hypocontinues relativement à ou , donc en particulier si E ou F est tonnelé, d'après la proposition ci-dessus. De plus, cette topologie est séparée si G est séparé.

Supposons E tonnelé. Les applications bilinéaires séparément continues de dans G sont alors -hypocontinues. Dans ce cas, on peut munir de la topologie de la convergence uniforme sur les éléments de  ; cette topologie, appelée la -topologie de , est localement convexe. Notons l'espace localement convexe ainsi obtenu. Pour toute application , soit l'application continue de E dans  ; alors est un isomorphisme d'espaces localement convexes de sur [12]. Si E et F sont tous deux tonnelés et G est quasi-complet, alors est quasi-complet.

Un autre cas important où la -topologie de est localement convexe est celui où E et F sont remplacés par des duals faibles et respectivement et où et sont les familles de tous les sous-ensembles équicontinus dans et . La -topologie est alors appelée la topologie de la convergence bi-équicontinue. Cette topologie, notée , a été introduite par Grothendieck pour son grand rôle dans la théorie du produit tensoriel d'espaces vectoriels topologiques[13]. Cela est dû au fait qu'avec (c'est-à-dire lorsqu'on considère des formes bilinéaires) :

(a) l'application
est un isomorphisme d'espace localement convexe de sur , et cet espace est complet si, et seulement si E et F sont tous deux complets ;
(b) l'espace des formes bilinéaires continues sur s'identifie au produit tensoriel , qui est donc un sous-espace vectoriel de , et peut être muni de la topologie induite par . Son complété pour cette topologie est noté .

Applications multilinéaires bornées[modifier | modifier le code]

Soit des espaces localement convexes. Une application n-linéaire de dans F est dite bornée si elle transforme les parties bornées de en parties bornées de F. Une application n-linéaire continue est bornée, mais la réciproque est fausse en général. L'ensemble des applications n-linéaires bornées de dans F est un espace vectoriel qu'on peut munir de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de . On obtient alors un espace localement convexe . L'application canonique

est un isomorphisme d'espaces disqués[14]. Si est un espace localement convexe bornologique, l'espace coïncide avec l'espace des applications linéaires continues de dans F[15], qui est séparé et complet si F est séparé et complet[16]. On en déduit par récurrence que si les espaces sont bornologiques et F est séparé et complet, alors est séparé et complet.

Lorsque sont des espaces vectoriels normés, coïncide avec l'espace des espaces d'applications n-linéaires continues de dans F, muni de la norme

.

C'est un espace de Banach si F est un espace de Banach.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Bourbaki 1950.
  2. La démonstration de la partie (2) est un peu plus longue : voir Schaefer et Wolff 1999, Chapitre II, §8.3, p. 62.
  3. Bourbaki 1981, Chap. III & IV.
  4. Schaefer et Wolff 1999, p. 141 et 142
  5. Bourbaki 1981, Cor. 4 p. III.27.
  6. Bourbaki 1981, Prop. 12 p. III.23 ; Köthe 1979, § 39.6(4), p. 143.
  7. Bourbaki 1981, Thm. 2, p. IV.26.
  8. Schaefer et Wolff 1999, §5.1, p. 88
  9. Bourbaki 1981, Prop. 6 p. III.32
  10. Grothendieck 1973, Thm. 2, p. 168.
  11. Grothendieck 1973, Chap. 3, Sect.6, p. 122.
  12. Bourbaki 1981, § III.5, exercices 13 et 14.
  13. Treves 2007.
  14. Houzel 1972, Chap. 1.
  15. Bourbaki 1981, § III.2, Prop. 1(iiibis).
  16. Bourbaki 1981, § III.3, Prop. 12.

Références[modifier | modifier le code]