Sigmoïde (mathématiques)

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La fonction sigmoïde.

En mathématiques, la fonction sigmoïde (dite aussi courbe en S[1]) est définie par :

pour tout réel

mais on la généralise à toute fonction dont l'expression est :

Elle représente la fonction de répartition de la loi logistique et est souvent utilisée dans les réseaux de neurones parce qu'elle est dérivable ce qui est une contrainte pour l'algorithme de rétropropagation de l'erreur de Werbos qui a permis à la fin des années 80 de créer des réseaux multicouches et de relancer toute la recherche sur les modèles connexionnistes à l'arrêt depuis 1969; et parce que la forme de la dérivée de sa fonction inverse est extrêmement simple, et facile à calculer - ce qui améliore les performances des algorithmes.

La courbe sigmoïde génère par transformation affine une partie des courbes logistiques et en est donc un représentant privilégié.

Propriétés graphiques[modifier | modifier le code]

La courbe sigmoïde possède pour asymptotes les droites d'équation et . Elle a pour centre de symétrie le point I de coordonnée (0;1/2), qui est également un point d'inflexion puisqu'en ce point, la dérivée seconde est nulle.

La fonction sigmoïde avec .

Pour une courbe sigmoïde de paramètre , la dérivée au point d'inflexion est . Cette propriété permet de paramétrer facilement une sigmoïde en observant la pente au point d'inflexion (égale à la dérivée).

Équation différentielle[modifier | modifier le code]

Les propriétés de la fonction sigmoïde s'expliquent par celles de sa dérivée. En effet celle-ci est égale à

,

qui peut se transformer en

varie de 0 à 1.

Cette équation différentielle signifie que la variation de en fonction de (souvent le temps d'ailleurs en physique, chimie ou marketing) est proportionnelle à la fois à l'avancement de depuis 0 et au chemin qui reste à parcourir pour arriver à 1, proportionnalité affectée d'un coefficient .

Cette équation différentielle est un cas particulier de modèle de Verhulst et a pour autres solutions des fonctions logistiques.

La dérivée seconde possède aussi quelques propriétés : elle peut se transformer en

.

ce qui vérifie bien qu'un point d'inflexion est le point-milieu y=12. Les autres points d'inflexion sont rencontrés aux extrémités de la courbe (y=0 et y=1), il s'agit plutôt de points asymptotiques de rayon infini.

Écriture alternative[modifier | modifier le code]

La fonction sigmoïde peut s'exprimer à l'aide de la fonction tangente hyperbolique, dont la courbe représentative a aussi une forme en S mais dont les asymptotes ont pour équations et . En effet,

donc

.

Modélisation[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de la modélisation, typiquement pour la modélisation de systèmes biologiques, les deux fonctions suivantes sont utilisées en tant que sigmoïdes :

La raideur de ces fonctions aussi nommées « sigmoïdes de Hill » est décrite par le paramètre et le point d'inflexion est considéré être en . Néanmoins, mathématiquement, ces fonctions ne sont pas des sigmoïdes et le point d'inflexion n'est pas en , mais en .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Sigmoïde », sur Linternaute, Dictionnaire français (consulté le 23 juin 2017).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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