Boule (topologie)

En topologie, une boule est l'ensemble des points qui se trouvent à moins d'une certaine distance d'un centre donné. Le nom évoque, à juste titre, la boule solide dans l'espace usuel à trois dimensions, mais la notion se généralise entre autres à des espaces de dimension plus grande (ou plus petite) ou encore de norme non euclidienne.

Les boules ouvertes forment une base d'ouvert de l'espace métrique associé, ce qui permet de formaliser les notions de limites et continuité.

Définition

Dans un espace métrique $(E,d)$ :

• la boule fermée centrée en un point $P$ et de rayon réel $r$ est l'ensemble $B'(P,r)$ des points dont la distance à $P$ est inférieure ou égale à $r$ :

$$B'(P,r):=\left\{M\in E\,\mid \,d(M,P)\leq r\right\}$$

• la boule ouverte correspondante est l'ensemble $B(P,r)$ des points dont la distance à $P$ est strictement inférieure à $r$ :

$$B(P,r):=\left\{M\in E\,\mid \,d(M,P)<r\right\}$$

Cette définition des boules peut être étendue aux espaces pseudométriques qui généralisent la notion d'espace métrique.

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité ouverte (resp. fermée) est la boule ouverte (resp. fermée) centrée à l'origine et de rayon 1.

Les boules d'un plan euclidien sont aussi appelées des disques.

Exemples

Dans ℝⁿ

Boules unités de $\mathbb {R} ^{2}$ pour différentes normes.

Dans $\mathbb {R}$ muni de la distance usuelle, les boules sont les intervalles de la forme $[a-r,a+r]$ et $]a-r,a+r[$.

Dans $\mathbb {R} ^{n}$ la forme géométrique d’une boule dépend de la distance choisie : avec la distance euclidienne les boules sont sphériques, tandis qu'avec la distance de Tchebychev elles prennent une forme cubique.

Avec la distance discrète

Pour un ensemble $X$ muni de la distance discrète $d(x,y)=1$ si $x\neq y$, $0$ sinon. Les boules de centre $a\in X$ sont $\{a\}$ si $0\leq r<1$ et $X$ si $r\geq 1$.

Avec une distance ultramétrique

Dans un espace muni d'une distance ultramétrique (comme l'anneau des entiers p-adiques ou l'espace des suites d'entiers), les boules sont des ouverts-fermés, tout point d'une boule en est un centre et si deux boules se rencontrent, l'une est contenue dans l'autre.

Propriétés

Dans un espace métrique $(X,d)$, on définit les ouverts comme l'ensemble des parties $U\subset X$ telles que :

pour tout $x\in U$, il existe un rayon $r>0$ avec $B(x,r)\subset U$.

Autrement dit, les boules ouvertes forment une base de la topologie associée à $d$. Et les boules (ouvertes ou fermées) de même centre et de rayons strictement positifs forment un système fondamental de voisinages de ce centre. En se limitant à une suite de rayons arbitrairement petits, on obtient même un système fondamental dénombrable de voisinages.

Ces propriétés expliquent pourquoi les notions de limite et de continuité soient définies à partir des boules ouvertes dans un espace métrique. Elles justifient également la terminologie : une boule ouverte (resp. fermée) est toujours un ouvert (resp. un fermé).

Toutes les boules d'un espace métrique sont des parties bornées et une partie est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule.

Enfin, les propriétés « être séparable », « être de Lindelöf » et « tout ouvert est une réunion dénombrable de boules ouvertes » sont équivalentes.

Dans un espace vectoriel normé

Dans un espace vectoriel normé, la distance définie par $d(x,y)=\|x-y\|$ est compatible avec la structure d'espace vectoriel. Ainsi toutes les boules ouvertes (resp. fermées) de rayons strictement positifs sont semblables par translation et homothétie, et toute boule est symétrique par rapport à son centre.

Sur un espace vectoriel normé réel ou complexe, on peut définir la notion de segment et donc d'ensemble convexe. À l'aide de l'inégalité triangulaire on montre que les boules sont convexes.

Dans un espace vectoriel réel normé, l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte de même centre et de même rayon, et l'adhérence d'une boule ouverte non vide est la boule fermée correspondante. Par conséquent, la frontière d'une boule non vide est la sphère correspondante. Dans un espace métrique quelconque on a seulement :

${\overline {B(P,r)}}\subset {\overline {B'(P,r)}}=B'(P,r)$ et $\operatorname {Int} (B'(P,r))\supset \operatorname {Int} (B(P,r))=B(P,r)$

Utilisation

Le théorème de compacité de Riesz énonce qu'un espace vectoriel réel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.

Voir aussi

Articles connexes

• Sphère (topologie)
• Voisinage (topologie)

Bibliographie

• Jacques Dixmier, Topologie générale, Presses universitaires de France, 1981 (ISBN 2-13-036647-3 et 978-2-13-036647-8, OCLC 417477300)
• Laurent Schwartz, Analyse. I, Théorie des ensembles et topologie, Hermann, 1995 (ISBN 978-2-7056-6161-8 et 2-7056-6161-1, OCLC 439120175)
• Nicolas Bourbaki, Topologie générale, Berlin Heidelberg, Springer, 2006 (1^re éd. 1974)
• Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés, Malakoff, Dunod, 2011 (ISBN 978-2-100-56948-9)