Formule de Leibniz

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Règle de Leibniz.

En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d'après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz :

Dérivée d'un produit[modifier | modifier le code]

Soit n un entier positif. Le produit de deux fonctions d'une variable réelle f et g définies et dérivables jusqu'à l'ordre n sur un intervalle est dérivable jusqu'à l'ordre n. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre n donnée par :

(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom nk\ f^{(k)}\ g^{(n-k)}

où les nombres entiers \tbinom nk sont les coefficients binomiaux, et où l'on convient que la « dérivée zéro-ième » de f, notée f (0), est la fonction f elle-même.

Cette formule se démontre par récurrence sur l'entier n. La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton. Cette dernière peut d'ailleurs en être déduite.

Une démonstration est proposée dans l'article détaillé « Règle du produit ».

Série alternée[modifier | modifier le code]

La formule de Leibniz est un exemple de série alternée :


\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots=\frac\pi4.

Elle a été découverte en Occident au XVIIe[1],[2],[3], mais apparaît déjà chez Madhava, mathématicien indien de la province du Kerala, vers 1400[4]. La thèse la plus courante est que les travaux mathématiques indiens de cette période ne seront connus en Occident qu'à la fin du XIXe siècle, pendant la colonisation de l'Inde par la Grande-Bretagne.

C'est simplement le développement de Taylor en 0 de la fonction arctan, évalué au point 1.

Déterminant d'une matrice carrée[modifier | modifier le code]

Le déterminant d'une matrice carrée A=(a_{ij}) d'ordre n est le nombre :

\det(A):=\sum_{\sigma \in S_n}\varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}

Sn est le groupe des permutations de {1, 2, … , n} et pour une permutation σ de Sn, ε(σ) désigne sa signature, égale à 1 si la permutation est paire et –1 sinon.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (la) Leibniz, « De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus expressa », Acta Eruditorum, février 1682.
  2. Leibniz, « Lettre à M. de La Roque, directeur du Journal des sçavans », 1678, Leibnizens mathematische Schriften, vol. 5, p. 88-92.
  3. Marc Parmentier, La naissance du calcul différentiel, Vrin, 1989, p. 61-81.
  4. (en) L. Berggren, J. Borwein et P. Borwein, Pi, A Source Book, Springer, 1997, « Madhava, the power series for arctan and pi (~1400) », p. 45-50.